Fizzbuzz 在最坏情况下所需的成本和时间分解

Question

Fizz-Buzz 函数（伪代码）采用任何正整数 n。我特别好奇 if-else 语句所需的成本和时间的代数分解。我知道它最坏情况下的运行时间是 O(n)。

Fizz-Bizz(n)
  for i = 1 to n
    if (n % 3 == 0)
      print "fizz"
    if (n % 5 == 0)
      print "buzz"
    if (n % 3 != 0 and n % 5 != 0)
      print n

另一种算法的故障示例：

Answer 1

时间复杂度为O(n)，因为if 语句对此没有实际影响。 if 语句的复杂性在足够大的数据集上是恒定的。

if 语句实际上可能在迭代中执行不同数量的工作，其中您有 3 或 5 的倍数，但是，每次循环迭代的额外工作量不依赖于 @987654325 @。事实上，随着n 变大，它的平均值会变成一个常数。

顺便说一句，我认为代码可能是错误的。在 15 的倍数时，它应该同时打印 fizz 和 buzz。

如果您想在编辑中做到这一点（添加的细分），您只需为每个语句分配一个任意成本c<sub>i</sub>（并且该成本对于该语句的单次执行是恒定的）然后算出每条语句运行了多少次。

例如，第一个if 序列运行n 次，print "fizz" 运行其中的三分之一，n/3。所以你最终会得到这样的表格：

                           cost   times
Fizz-Buzz(n)
  for i = 1 to n           c1     n
    if (n % 3 == 0)        c2     n
      print "fizz"         c3     n / 3       [call this a]
    else
      if (n % 5 == 0)      c4     n - a
        print "buzz"       c5     (n - a) / 5 [call this b]
      else
        print n            c6     n - a - b

根据您的示例将所有这些加起来（用a 和b 替换n-方程），最后，您会仍然得到一些东西依赖于n，因此是O(n) 算法。它看起来像：

  c1*n + c2*n + c3*n/3   + c4*(n-a)   + c5*(n-a)/5     + c6*(n-a-b)
= c1*n + c2*n + (c3/3)*n + c4*(n-n/3) + (c5/5)*(n-n/3) + c6*(n-n/3-(n-n/3)/5)
= c1*n + c2*n + (c3/3)*n + c4*(2/3)*n + (c5/5)*(2/3)*n + c6*(n-n/3-(n-n/3)/5)
= c1*n + c2*n + (c3/3)*n + (c4*2/3)*n + (c5*2/15)*n    + c6*(n*8/15)
= c1*n + c2*n + (c3/3)*n + (c4*2/3)*n + (c5*2/15)*n    + (c6*8/15)*n

   /             1         2             2                8    \
= ( c1  + c2   + - c3    + - c4       + -- c5          + -- c6  ) * n
   \             3         3            15               15    /

括号内的所有值实际上都是常数（因为它们是常数的倍数）所以整个事情是n 的常数乘数。

现在，如果您在上面的这些等式中发现一个小错误，我不会太感到惊讶 - 我已经好几年没做过这种级别的数学了，我可能会如果这是为了家庭作业而你尝试逐字复制它：-)

但您可能会发现的唯一错误是常量乘数本身的值。它仍然是某些描述的常数乘数，我保证。