如何表示二叉树？

Question

用列表表示的序列自然地泛化为表示具有以下特征的序列 元素本身可能是序列。例如，我们可以认为(cons (list 1 2) (list 3 4))构造的对象((1 2) 3 4)。序列的元素是树的分支，本身是序列的元素是子树。

我不明白。我想看到((1 2) (3 4)) 和二叉树，但这是三叉树（不是二叉树）。

将列表结构视为一棵树。

 /\\
/\ 3 4 
1 2

为什么不是下面这个？

  / \
 /\ /\
1 2 3 4

Answer 1

在源自原始 Lisp 的语言中，例如 Scheme，您没有 列表或树作为原始数据结构，但仅限于 cons 单元格， 可以以不同方式使用来表示更复杂的数据 结构。

例如，没有什么可以阻止您将数字序列表示为 不正确的列表，即将序列 1 2 3 4 表示为：

(cons 1 (cons 2 (cons 3 4)))  ;  => '(1 2 3 . 4)

[*|*]--->[*|*]--->[*|*]--->4
 |        |        |
 v        v        v
 1        2        3

这比通常的正确列表表示更有效：

(cons 1 (cons 2 (cons 3 (cons 4 '())))) = (list 1 2 3 4)  ;  => '(1 2 3 4)

[*|*]--->[*|*]--->[*|*]--->[*|*]--->()
 |        |        |        |
 v        v        v        v
 1        2        3        4

（例如，考虑一个应用程序，您必须在其中管理数百万 小列表）。

通常使用适当的列表，因为大多数原语 函数只为它们定义（例如，如果你尝试，你会得到一个错误 反转'(1 2 3 . 4))，这样使用起来更方便。

另一方面，对于树木来说，情况就更复杂了，因为你 可以有不同种类的树，例如：

1. 信息仅存在于叶子中的二叉树（如您的示例），

2. 信息存在于每个节点的二叉树，

3. n 叉树，其中信息存在于每个节点或 在树叶里，

4. 二叉树或多叉树，其中信息是一个列表，或更复杂的结构（例如另一棵树），

等等

您可以为手头的问题选择正确的表示形式。 例如，在上面的情况 (2) 中，这比情况 (1) 更常见，您可以将树表示为三个元素（信息、左子树、右子树）的列表（在这个在这种情况下，您可以选择正确的列表或不正确的列表），或者您可以使用具有三个字段的结构，甚至可以使用具有三个元素的数组。

总结起来，重要的是定义一棵树的方式 最适合您的需求（也许看看是否有预定义的函数或可用的库 已经提供了您需要的运算符），然后定义基本的运算符来处理它，就像在answer of Sylwester 中一样，运算符来构建树并使用它的组件，并且总是使用它们来编写你的程序。通过这种方式，您可以获得Abstract Data Type 方法的所有常见好处，例如，您可以在不修改程序的情况下更改树的表示。

Answer 2

为了更好地理解，将列表转换为点对：

(cons (list 1 2) (list 3 4)) ; ==
((1 2) 3 4) ==
((1 . (2 . '())) . (3 . (4 . '()))) ; ==

     /\
    /  \
   /\   \
  /  \  /\ 
1   /\  3/\
   2  ()4 ()

你要画的树是：

((1 . 2) . (3 . 4)) ; but the general way of displaying it would be
((1 . 2) 3 . 4)

然后我假设一对是一个节点，其汽车位于右侧，而 cdr 位于左侧。基本上：

(define make-tree cons)
(define tree-right car)
(define tree-left cdr)
(define tree? pair?)
(define *tree-null* '())

现在您可以像这样为树建模：

(define make-tree list)
(define tree-right car)
(define tree-left cadr)
(define tree? list?)
(define *tree-null* '())

那么同一棵树将如下所示：

((1 2) (3 4))

真的没关系，但是第一个例子是常用的方式，因为它使用的空间更少。无论如何，这些都是一样的：

(define (accumulate-tree tree term combiner null-value)
  (let rec ((tree tree))
    (cond ((eq? *tree-null* tree) null-value)
          ((not (tree? tree)) (term tree))
          (else (combiner (rec (tree-left tree)) 
                          (rec (tree-right tree)))))))

(define (copy-tree tree)
  (accumulate-tree tree values make-tree *tree-null*))

(define (aritmetric-sum-tree tree)
  (accumulate-tree tree values + 0))

(define (reverse-tree tree)
  (accumulate-tree tree 
                   values
                   (lambda (left right) (make-tree right left))
                   *tree-null*))

编辑

SICP 只提供了一种不同的方式来查看相同的结构，它不是二叉树。有一个节点是一个子节点列表，一个子节点是一个列表是一个新节点。更重要的是你要理解这些盒子，并且链式的缺点有一种奇怪的显示方式。请注意这些框与我的树的相似之处。

重要的是要了解，使用cons，您可以对任何抽象数据结构进行建模，并且在创建自己的数据结构时，您正在改变如何将元素映射到cons。因此，相同的列表结构可能代表其他内容，具体取决于您如何使用它们。例如。如果你有一个 LZW 树，你在查找中迭代树，你通常只需要一个父级。因此。一对可能是父节点和这个节点的值。