如何获得第 n 个随机“nextInt”值？

Question

在使用 java.util.Random 类时，如何才能以更有效的方式（特别是在 O(1) 中）获得 N 次调用 nextInt() 方法获得的值？

例如，如果我构造一个带有特定种子值的 Random 对象，我想在一个快速的方法，我能做到吗？

为简单起见，假设 JDK 版本为 1.7.06，因为可能需要知道 Random 类中某些私有字段的确切值。说起来，我发现以下字段与随机值的计算相关：

private static final long multiplier = 0x5DEECE66DL;
private static final long addend = 0xBL;
private static final long mask = (1L << 48) - 1;

在探索了一下随机性之后，我发现随机值是使用线性同余生成器获得的。执行算法的实际方法是方法 next(int):

protected int next(int bits) {
    long oldseed, nextseed;
    AtomicLong seed = this.seed;
    do {
        oldseed = seed.get();
        nextseed = (oldseed * multiplier + addend) & mask;
    } while (!seed.compareAndSet(oldseed, nextseed));
    return (int)(nextseed >>> (48 - bits));
}

算法的相关行是获得下一个种子值的行：

nextseed = (oldseed * multiplier + addend) & mask;

那么，更具体地说，有没有一种方法可以推广这个公式来获得“nth nextseed”值？我在这里假设，在有了它之后，我可以通过让变量“bits”为 32 来简单地获得第 n 个 int 值（方法 nextInt() 只需调用 next(32) 并返回结果）。

提前致谢

PS：也许这是一个更适合mathexchange的问题？

Answer 1

您可以在O(log N) 时间完成。从s(0) 开始，如果我们暂时忽略模数（2⁴⁸），我们可以看到（使用m 和a 作为multiplier 和addend 的简写）

s(1) = s(0) * m + a
s(2) = s(1) * m + a = s(0) * m² + (m + 1) * a
s(3) = s(2) * m + a = s(0) * m³ + (m² + m + 1) * a
...
s(N) = s(0) * m^N + (m^(N-1) + ... + m + 1) * a

现在，m^N (mod 2^48) 可以通过重复平方的模幂以 O(log N) 步骤轻松计算。

另一部分有点复杂。暂时再忽略模数，几何和为

(m^N - 1) / (m - 1)

是什么让计算这个模 2^48 有点不平凡是因为 m - 1 不是模的互质数。然而，由于

m = 0x5DEECE66DL

m-1 的最大公约数，模为 4，(m-1)/4 有模逆 inv 模 2^48。让

c = (m^N - 1) (mod 4*2^48)

然后

(c / 4) * inv ≡ (m^N - 1) / (m - 1) (mod 2^48)

所以

• 计算M ≡ m^N (mod 2^50)
• 计算inv

获得

s(N) ≡ s(0)*M + ((M - 1)/4)*inv*a (mod 2^48)

Answer 2

我已接受 Daniel Fischer 的回答，因为它是正确的并给出了一般解决方案。使用 Daniel 的回答，这里是一个带有 java 代码的具体示例，它显示了公式的基本实现（我广泛使用了 BigInteger 类，因此它可能不是最佳的，但我证实了实际调用方法 nextInt( ) N 次):

import java.math.BigInteger;
import java.util.Random;


public class RandomNthNextInt {

    // copied from java.util.Random =========================
    private static final long   multiplier  = 0x5DEECE66DL;
    private static final long   addend      = 0xBL;
    private static final long   mask        = (1L << 48) - 1;


    private static long initialScramble(long seed) {

        return (seed ^ multiplier) & mask;
    }

    private static int getNextInt(long nextSeed) {

        return (int)(nextSeed >>> (48 - 32));
    }
    // ======================================================

    private static final BigInteger mod = BigInteger.valueOf(mask + 1L);
    private static final BigInteger inv = BigInteger.valueOf((multiplier - 1L) / 4L).modInverse(mod);


    /**
     * Returns the value obtained after calling the method {@link Random#nextInt()} {@code n} times from a
     * {@link Random} object initialized with the {@code seed} value.
     * <p>
     * This method does not actually create any {@code Random} instance, instead it applies a direct formula which
     * calculates the expected value in a more efficient way (close to O(log N)).
     * 
     * @param seed
     *            The initial seed value of the supposed {@code Random} object
     * @param n
     *            The index (starting at 1) of the "nextInt() value"
     * @return the nth "nextInt() value" of a {@code Random} object initialized with the given seed value
     * @throws IllegalArgumentException
     *             If {@code n} is not positive
     */
    public static long getNthNextInt(long seed, long n) {

        if (n < 1L) {
            throw new IllegalArgumentException("n must be positive");
        }

        final BigInteger seedZero = BigInteger.valueOf(initialScramble(seed));
        final BigInteger nthSeed = calculateNthSeed(seedZero, n);

        return getNextInt(nthSeed.longValue());
    }

    private static BigInteger calculateNthSeed(BigInteger seed0, long n) {

        final BigInteger largeM = calculateLargeM(n);
        final BigInteger largeMmin1div4 = largeM.subtract(BigInteger.ONE).divide(BigInteger.valueOf(4L));

        return seed0.multiply(largeM).add(largeMmin1div4.multiply(inv).multiply(BigInteger.valueOf(addend))).mod(mod);
    }

    private static BigInteger calculateLargeM(long n) {

        return BigInteger.valueOf(multiplier).modPow(BigInteger.valueOf(n), BigInteger.valueOf(1L << 50));
    }

    // =========================== Testing stuff ======================================

    public static void main(String[] args) {

        final long n = 100000L; // change this to test other values
        final long seed = 1L; // change this to test other values

        System.out.println(n + "th nextInt (formula) = " + getNthNextInt(seed, n));
        System.out.println(n + "th nextInt (slow)    = " + getNthNextIntSlow(seed, n));
    }

    private static int getNthNextIntSlow(long seed, long n) {

        if (n < 1L) {
            throw new IllegalArgumentException("n must be positive");
        }

        final Random rand = new Random(seed);
        for (long eL = 0; eL < (n - 1); eL++) {
            rand.nextInt();
        }
        return rand.nextInt();
    }
}

注意：注意方法 initialScramble(long)，它用于获取第一个种子值。这是使用特定种子初始化实例时类 Random 的行为。