寻找递归关系答案

【问题标题】：Finding a recursion relation寻找递归关系
【发布时间】：2012-02-23 21:53:07
【问题描述】：

在我的课堂上，我们讨论了遵循斐波那契数列的兔子生活模型。兔子会从一对婴儿开始，并在一年内成熟。成熟的兔子会生出一对新的婴儿兔子。这导致兔子总数等于斐波那契数列。

我也在看这个网站，它可能比我更好地解释这一点：LINK

在我链接的网站上，他们修改了模型，使兔子在 2 年后死亡并提出新的递归关系。我想知道是否有可能为这个问题找到一个递归关系，它以 k 表示，兔子成年后生活的年数（分娩）？

关于如何解决这个问题的任何想法？

【问题讨论】：

标签： recursion model fibonacci

【解决方案1】：

我将尝试给你一个提示，但不给你答案。

现在，你有正常的斐波那契关系 f(n) = f(n-1)+f(n-2)

但是对于兔子死亡的情况，你也必须减去一些东西。你必须减去死亡的兔子数量。

【讨论】：

我也这么认为，直到我真正查看了数据。然后我意识到，当年份是标准死亡年龄后一年时，您只会从序列中减去它。当在那一年中减去它时，序列以Fn-1 + Fn-2 继续。所以，它必须是Fn = Fn-1 + Fn-2, n <> k+1 或类似的东西。

【解决方案2】：

以下是兔子活了 10 年的数据（注意第 11 年是婴儿死亡的第一年）：

Year    New     Mature  Dead    Total
1       1       0       0       1
2       0       1       0       1
3       1       1       0       2
4       1       2       0       3
5       2       3       0       5
6       3       5       0       8
7       5       8       0       13
8       8       13      0       21
9       13      21      0       34
10      21      34      0       55
11      34      55      1       88
12      55      89      1       143
13      89      144     2       231
14      144     233     3       374
15      233     377     5       605
16      377     610     8       979
17      610     987     13      1584
18      987     1597    21      2563
19      1597    2584    34      4147
20      2584    4181    55      6710
21      4181    6765    89      10857

如您所见，死兔子的数量遵循斐波那契数列，偏移了 10 年。当n <> 11（或n k+1）时，总数仍然是Fn = Fn-1 + Fn-2，唯一不是Fn = Fn-1 + Fn-2的时间是在第11年（k+1），此时它是F11 = Fn-1 + Fn-2 - Fn-k。我不知道如何将其形式化为一个等式。

【讨论】：

【解决方案3】：

我已经在这个问题上胡闹了几个星期，并想出了兔子活了多少年，k，如下：

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) - F(n - (k + 1))

我最多只能达到 k = 6，但它似乎可以工作，除非 n = k。在那种特殊情况下，如果 F(0) = 1，它似乎有效。一旦 n > k，该公式似乎有效（尽管正如我所说，此时 k

【讨论】：