如何通过展开来解决递归关系？

Question

如果我有 T(n) = T(n-1) + T(n-2)+ cn; T(1) = T(2) = d

如何应用展开来求解 T(n) 的封闭形式？

当我尝试通过替换展开它时，我的方程式变得非常长且难以跟踪。

Answer 1

您可以使用 Python 的符号数学库 sympy 来写出这些术语。

from sympy.abc import c, d

def T(n):
    if n <= 0:
        return None
    elif n <= 2:
        return d
    else:
        return T(n-1) + T(n-2) + c*n

for i in range(1, 11):
    print(i, T(i))

这给出了：

1 d
2 d
3 3*c + 2*d
4 7*c + 3*d
5 15*c + 5*d
6 28*c + 8*d
7 50*c + 13*d
8 86*c + 21*d
9 145*c + 34*d
10 241*c + 55*d

d 的系数显然是斐波那契数。 c 的系数可以在 oeis 中查找到 A023552。这给出了一个很长的明确公式，还有Fibonacci(n+2) + 2*Fibonacci(n) - (n+3)。

使用sqrt(5) 将Fibonacci 替换为Binet 的公式，得到T(n) 的以下表达式：

-2**(-n)*(c*(20*2**n*n + 60*2**n + 8*sqrt(5)*((1 - sqrt(5))**n - (1 + sqrt(5))**n) + sqrt(5)*((1 - sqrt(5))**(n + 2) - (1 + sqrt(5))**(n + 2))) + 4*sqrt(5)*d*((1 - sqrt(5))**n - (1 + sqrt(5))**n))/20

这个公式与上面n = 1 .. 10 的值非常吻合。但它看起来不像是“手工”计算的公式。 （请注意，Python 使用** 表示功率并保留^ 用于异或。）

或者，可以尝试Sympy's rsolve 来获得一个明确的公式：

from sympy import Function, rsolve
from sympy.abc import n, c, d

f = Function('f')
T = f(n) - f(n-1) - f(n-2) - c*n
s = rsolve(T, f(n), {f(1): d, f(2): d})
print (s.simplify())

哪些输出：

2**(1 - n)*d*(-2**n*c*n - 2**(n + 1)*c + c*(1 + sqrt(5))**n - (1 - sqrt(5))**n + (1 + sqrt(5))**n)/(-5*c + sqrt(5)*c + 2*sqrt(5))

不幸的是，这似乎是错误的。

Answer 2

让我们重新安排一下

T(n) - T(n-1) - T(n-2) = cn

由于T的左边是线性的，所以有一个标准解法：求通解，求任意特解，然后找到该通解的右实例加到特解中，以求得匹配边界条件 T(1) = T(2) = d。

一般解决方案

我们要找到 T′(n) - T′(n-1) - T′(n-2) = 0 的所有解。 T′(n) 的解不是原问题的解, 因为右边为零；但是求解这个方程很有用，因为通过线性，原始问题的解决方案加上“等于零”问题的任何解决方案都会为原始问题提供另一个解决方案。

这是一个线性递推关系，所以我们可以猜测对于某些 x ≠ 0 的解具有 T′(n) = xⁿ 的形式。代入得到 xⁿ - x^n-1 - x^n-2 = 0，除以 x^n-2 得到二次方程 x ² - x - 1 = 0。通过应用二次公式，这个方程有两个解，恰好是golden ratio x = φ 和 x = -1/φ。

所以 T′(n) = φⁿ 和 T′(n) = (-1/φ)ⁿ 都是解，因为方程是线性的，这些的任何线性组合也是一种解决方案。一般形式为 T′(n) = aφⁿ + b(-1/φ)ⁿ 其中 a 和 b 是任意常数。

特殊解决方案

我们想找到 T(n) - T(n-1) - T(n-2) = cn 的任何解。由于右手边是 n 中的 1 次多项式，我们可以猜测对于一些 p,q 的解具有 T(n) = pn + q 的形式。将其代入给出

(pn + q) - (pn - p + q) - (pn - 2p + q) = cn

等式系数，-pn = cn 和 3p - q = 0，所以我们有 p = -c 和 q = -3c，因此特解是 T(n) = -cn - 3c。

边界条件

所以我们正在寻找 a 和 b 的值，这样

T(n) = aφⁿ + b(-1/φ)ⁿ - cn - 3c

满足边界条件 T(1) = T(2) = d。代入，我们得到

• aφ + b(-1/φ) - c - 3c = d
• aφ² + b(-1/φ)² - 2c - 3c = d

由于 c、d 和 φ 是常数，因此这是一个包含两个变量 a 和 b 的线性方程组。它可以通过应用诸如消除或替换之类的标准技术来解决，或者只是plugged into Wolfram Alpha，给出唯一的解决方案

这当然可以简化以消除分母中的平方根，但我认为这对于演示求解方法不是必需的。