遍历具有联合概率分布的 4x4 网格世界的概率代理

Question

我正在尝试从《A Modern Approach to AI》一书中解决一个简单棋盘游戏的概率代理，但在基本数学和主要是完整的联合分布方面遇到了一些问题，所以我想请教一些指点.

棋盘是 4x4 方格 棋盘上某处有 1 个怪物和 2 个坑 如果附近有坑/怪物，怪物和坑会在其相邻的方格中发出恶臭/微风，为特工提供线索

将房间写成它们在网格上坐标的元组：(x,y) from 1-4

例如：

房间 (1, 1), (1, 2), (2, 1) 被访问并且我们发现 房间 (1, 2) 和 (2, 1) 中的微风

这告诉我，与 (1, 2) 和 (2, 1) 相邻的任何一个房间都可能有坑

P 是坑的概率 这个变量在开始时均匀分布在 4x4 网格（16 个房间）上，所以我们得到每平方有一个坑或怪物的概率为 0.2

B是访问过的房间是否有微风或恶臭（这意味着它是他们旁边的坑的概率更高

那么完整的联合分布应该是 P(P11, ..., P44, B11, B12, B21)

产品规则告诉我们

P(P11, ..., P44, B11, B12, B21) =

P(B11, B12, B21 | P11, ..., P44) P(P11, ..., P44)

Product Rule on Full Joint Distribution

到目前为止一切顺利，但我似乎无法采取下一步行动。

自从它在房间内均匀分布的概率为 0.2 以来，我得到的第二个术语。 但是对于第一个学期，如果有微风的房间（B21 和 B12）与坑/怪物相邻，则应该有 1。但是 B 的数字是多少？我怎么得到它？

AIMA 书中指出：“第一项是微风配置的条件概率分布，给定一个坑配置；如果微风与坑相邻，则其值为 1，否则为 0”

我已经为此苦苦挣扎了好几天，但毫无进展。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

Bxy 值表示在单元 xy 中是否观察到微风。它们被正式定义为：

Bxy = 1 当且仅当在 (x, y) 观察到微风时，
bxy = 0 否则

因此，在您的示例情况下，我们已经知道
B11 = 0, B12 = 1, B21 = 1

同样，变量 P11, P12, ..., P44 也是二进制变量，其中 Pxy = 1 当且仅当单元格 (x, y) 中有坑。

现在来看看第一个术语，我相信这是你的问题，你不明白的东西：

P(B11, B12, B21 | P11, ..., P44)

这是在 Pxy = 1 的单元格 (x, y) 中存在凹坑的情况下进行观察 (B11, B12, B21) 的条件概率分布。

在示例情况下，您可以填写 B11、B12 和 B21 的值。你知道 B11 = 0 和 B12 = B21 = 1（因为这是观察到的）。您不知道坑在哪些位置，因此您无法针对您的具体情况直接填写 Pxy 值。但是，您可以为您能想到的任意情况填写这些值。

您可以说“好的，假设在 (1, 3) 位置只有一个坑”。然后我们有 P13 = 1，所有其他 Pxy = 0。对于这样一个特定情况，也可以计算该特定情况发生的概率（这将是 0，因为你无法在 (2 , 1) 如果 (1, 3)) 中只有一个坑。

如果您对您能想象到的所有可能情况重复此操作，您可以结合结果来获得更有趣的答案，例如在给定您所做的观察的情况下，某个位置存在坑的概率。不过，这就是下文的内容，我相信这不再是您的问题所在。