计算联合分布的一部分的概率答案

【问题标题】：Computing the probability for a section of a joint distribution计算联合分布的一部分的概率
【发布时间】：2010-11-18 07:51:23
【问题描述】：

考虑到我有两个独立的正态随机变量的连续联合分布（假设独立变量在 X 和 Z 轴上，而依赖的 - 联合概率 - 在 Y 轴上），我有一条线在 XZ 平面上的任何位置，我将如何计算一个点落在该线的一侧或另一侧的概率？

【问题讨论】：

这个问题和编程有什么关系？
嗯，这在统计分析软件中有很多应用。我只是没有要求与解决方案相关的代码示例，因为对我来说（可能对大多数开发人员来说）它们不是必需的——如果我得到了这个概念，我就可以把它变成代码；这也是一个与语言无关的问题。但是，任何愿意发布的人都将不胜感激代码示例。

【解决方案1】：

首先移动一切，使两个正态分布（X 和 Z）以零为中心；现在联合分布将是一个以原点为中心的小山。

现在缩放其中一个轴，使两个分布具有相同的方差（或“宽度”）。现在联合概率应该是一个旋转对称的山。

现在重要的是这条线离原点有多近。围绕原点旋转（这将使联合概率保持不变）直到线平行于轴之一，例如 Z。现在您要询问随机点的 X 大于或小于 X 值的概率的线。这是由比例分布函数之一确定的（它们是相同的），并且可以通过误差函数来计算。

如果有用的话，我可以把数学写出来。

编辑：我会尝试写出最后一步。请原谅我粗糙的 ascii，我没有一个好的数学平板电脑。

假设我们对分布进行了缩放和居中，使得 sigmaX = sigmaZ = 1，并旋转了所有内容：

联合概率：P(x, z) = 1/(2 pi) exp(-(x^2 + z^2)/2) 行：x = c

现在要找出随机点位于某个 x 和 x+dx 之间的狭窄“垂直”条带上的概率：

P(x)dx = Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz P(x, z)} = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2) 1/sqrt(2 pi) Int[z=-Inf, z=+Inf]{dz exp(-z^2/2)} = 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)

但这与两种正态分布中的一种相同。因此，一个随机点位于直线左侧的概率是

P(c>x) = Int[-Inf, c]{dx 1/sqrt(2 pi) exp(-x^2/2)} = 1/2 (1 - Erf(c/sqrt(2)))

【讨论】：

谢谢！我可以按照你的理由，只有一个细节我不太了解。在旋转等之后，您的意思是 3D 空间的其中一个部分的积分与从两个分布中的任何一个获取的 2D 空间的部分之一的积分相同？换句话说，我是否可以计算直线中最近点到原点的距离，并将其用作积分任何函数的限制，这会给我正确的结果？
如果您能发布最后一步的公式，我将不胜感激。根据经验，在我看来，为了“拉平”其中一个维度，您需要结合这两个函数，因为我认为相应的曲线会更陡峭。
我相信您在第一条评论中已经正确解释了 Beta 回答的结果；由于对称性考虑，平移和缩放的关节分布通过旋转保留，从线到原点的最短距离也是如此。此外，平移和缩放联合分布的任何二维横截面本身都是单变量正态分布。所以，是的，如果您按照描述设置限制，这将有效。当然，从你的问题中删除“正常”这个词，所有的赌注都会被取消。 :-)
回答这个问题，是的，您可以计算从线到原点的距离并将其用作积分限制。我只是用轮换来说明（我希望）为什么会这样。
请务必在缩放后计算距离。