在 O(n) 时间内运行的指数乘法算法？答案

【问题标题】：exponential multiplication algorithm that runs in O(n) time?在 O(n) 时间内运行的指数乘法算法？
【发布时间】：2014-02-03 17:50:49
【问题描述】：

我正在阅读一本算法教科书，但我被这个问题难住了：

假设我们要计算 x^y 的值，其中 x 和 y 是正数分别具有 m 位和 n 位的整数。解决该问题的一种方法是执行 y - 1 乘以 x。你能给出一个只使用 O(n) 乘法步骤的更高效的算法吗？

这是一种分而治之的算法吗？ y-1 乘以 x 会在 theta(n) 中运行，对吗？ ..我不知道从哪里开始这个问题

【问题讨论】：

【解决方案1】：

我以迭代的方式更好地理解了这一点：

您可以计算 x^z 的所有 2 次幂：z = (2^0, 2^1, 2^2, ... ,2^(n-1))

只需从 1 到 n 并应用 x^(2^(i+1)) = x^(2^i) * x^(2^i)。

现在您可以使用这些 n 值来计算 x^y：

result = 1
for i=0 to n-1:
    if the i'th bit in y is on:
        result *= x^(2^i)
return result

一切都在 O(n) 内完成

【讨论】：

【解决方案2】：

对分而治之应用一个简单的递归。在这里我发布一个更像伪代码。

x^y :=
    base case: if y==1 return x;
        if y%2==0:  
            then (x^2)^(y/2;
        else 
            x.(x^2)^((y-1)/2);

【讨论】：

【解决方案3】：

y-1 乘法解决方案基于身份 x^y = x * x^(y-1)。通过重复应用身份，您知道您将在y-1 步骤中将y 减少到1。

更好的办法是更“有效地”减小 y。假设偶数y，我们有x^y = x^(2*y/2) = (x^2)^(y/2)。假设一个奇怪的y，我们有x^y = x^(2*y/2+1) = x * (x^2)^(y/2)。

如果您继续使用 x^2 而不是 x 进行功率计算，您会发现您可以将 y 减半。

递归：

Power(x, y)=
    1 if y = 0
    x if y = 1
    Power(x * x, y / 2) if y even
    x * Power(x * x, y / 2) if y odd

查看它的另一种方法是将y 读取为加权位的总和。 y = b0 + 2.b1 + 4.b2 + 8.b3...

求幂的性质暗示：

x^y = x^b0 . x^(2.b1) . x^(4.b2) . x^(8.b2)... 
    = x^b0 . (x^2)^b1 . (x^4)^b2 . (x^8)^b3...

您可以通过平方获得所需的 x 幂，y 的二元分解告诉您要乘以哪些幂。

【讨论】：