具有 NP 复杂性的最长路径问题的示例？

Question

我在网上看到找最长路径问题是NP-Complete问题。

出于某种原因，我的老师告诉我这不是一个 NP 完全问题。 因此，现在我正在寻找一个示例，该示例显示获得最长路径所需的计算量大于多项式时间。

目前，我只看到了具有多项式复杂时间的示例。

谁能给我证明这个问题是 NP 完全的？

Answer 1

对于初学者来说，根据您对最长路径问题的表述方式，问题实际上可能是 NP-hard 但不是 NP-complete。此问题的 NP 完整版本如下：

给定图 G 和长度 k，G 是否有长度为 k 或更长的简单路径？

众所周知，这个问题是 NP-complete 的，原因我稍后会详细说明。然而，这个密切相关的问题不实际上是NP完整的：

给定一个图 G，G 中最长的简单路径是多少？

第二个问题是 NP-hard 但不是 NP-complete。对于一个NP-完全的问题，该问题必须是一个决策问题，一个答案是布尔“是”或“否”的问题。然而，这个问题的第二个版本不是一个决策问题，因此它不能在 NP 中，因此它不能是 NP-完全的.当你的老师说最长路径问题不是NP-完全时，你的老师完全有可能考虑到这一点，尽管我不能肯定地说。

至于为什么最长路径问题是NP-完全的，我们需要论证两点：

1. 此问题在 NP 中。直观地说，有一种有效的方法来检查问题的“是”答案。

2. 这个问题是 NP 难的。也就是说，有一个 NP 难题可以简化为它。

对于第 (1) 点，直觉是，如果回答“此图是否有一条长度为 137 或更长的简单路径？”是“是的”，有一些简单的方法可以向某人展示这一点。只要给他们那个简单的路径。一旦他们有了路径，他们就很容易检查它是否确实符合要求。 （现在，找到这条路可能真的很难。但是一旦我们以某种方式将其隔离出来，让人们相信它是可行的并不难。）

对于第 (2) 点，执行此操作的一般方法是从现有的 NP 难题开始，然后将其简化为我们的问题。在这里，我们将从哈密顿路径问题开始，如下所示：

给定一个图 G，是否有一条简单的路径通过 G 中的每个节点一次且恰好一次？

以下是我们如何将该问题简化为最长路径问题。从图 G 开始。现在，问一个问题：G 是否有一条长度至少为 n - 1 的简单路径，其中 n 是 G 中的节点数？如果是这样，那么该简单路径必须访问每个节点一次且恰好一次，因为否则路径中没有足够的节点使其长度至少为 n - 1。相反，如果不是，则没有哈密顿路径，因为任何哈密顿路径都符合要求。因此，如果我们能有效地解决最长路径问题，我们就可以有效地解决哈密顿路径问题。由于哈密顿路径问题是 NP-hard，因此最长路径问题也是如此。

现在，这个问题是 NP-完全的事实并不意味着它没有多项式时间解。 P 与 NP 的问题仍未解决，也不知道 P = NP 还是 >P ≠ NP 我们不能说最长路径问题是否存在多项式时间算法。我们可以说没有已知算法在多项式时间内运行（你提到一些网站声称他们有针对这个问题的多项式时间算法，但这听起来不对；如果是这样，谁发现算法会成为百万富翁）。

现在，您可以提出一个后续问题：为什么哈密顿路径问题 NP 很难？证明这一点的常用方法是从 3SAT 开始，然后进行巧妙的、基于小工具的归约。在这里探索太长了，但是大多数介绍性理论教科书（包括 Sipser 的著名教科书）都很好地解释了这一点。