NP中最长的可能非简单路径吗？

Question

我知道NP-HARD中有以下问题：给定一个简单的图G=(V,E)，V中有两个顶点v，v'，一个整数B，一个非负长度函数len：E -> Z+，是否有一条从v到v'的简单路径长度小于B？

我的问题是：在与以前相同的条件下，如果我们有兴趣在 G 中找到从顶点 v 到 v' 的最长 不一定简单 路径，问题是否仍然存在于 NP-HARD ?

注意：我已尝试将 hamilton-path 减少到它，但我仍然无法证明是否 NP 中有一个问题可以简化为我提到的这个问题。我也在 Garey & Johnson 中查找过，但没有找到任何东西。

我想要一个小提示来证明这个问题是否是 NP-HARD。 提前致谢！

Answer 1

图中没有负循环的最短简单路径不是 NP 难的。请参阅 Cormen 的“算法简介”。可以使用 Bellman-Ford 算法求解。如果我们没有负边权重，也可以使用 Dijkstra 算法。两者都计算从单个源到图的所有其他节点的所有最短路径。所以你的第一个问题，正如我正确理解的那样，不是 NP-hard。

在不存在正循环的情况下，最长简单路径问题是不存在负循环的最短简单路径问题的对偶。也不是 NP 难的。

允许负循环的最短（非简单）路径是 NP 难的，因为您需要记住到节点的所有可能路径，这可能是指数的。对于允许正循环的最长（非简单）路径问题也是如此。

我希望这能回答你的问题。

如果我遗漏了什么或任何陈述有误，请随时纠正我。

Answer 2

不，这不是 NP 难；您可以使用最短路径算法（例如 Bellman-Ford）通过否定边缘长度来在多项式时间内解决它。请注意，最长路径很可能是无限的，尤其是当所有边权重均为非负时。