在作业期间，我被要求展示一个大小为 m（m>3，m 是素数）的哈希表，它小于半满，并且使用二次检查 (hash(k, i) = (h(k) + i^2) mod m)，我们总能找到空位。
我已经检查并得出结论，将找到的点（当 h(k)=0 时）是 0 mod m、1 mod m、4 mod m、9 mod m、...
我的问题是我想不出一种方法来证明它总能找到空闲位置。我自己用不同的 m 值对其进行了测试，并且也证明了自己如果哈希表超过半满，我们可能永远找不到空闲位置。
谁能提示我解决这个问题的方法？
谢谢！
【问题讨论】：
0, 1, 4, ..., ((m-1)/2)^2 都是不同的 mod m。为什么？
假设该范围内的两个数 i^2 和 j^2 等价于 mod m。
那么 i^2 - j^2 = (i-j)(i+j) = 0 (mod m)。由于 m 是素数，因此 m 必须除以其中一个因数。但因数都小于m，所以其中一个((i-j))为0。即i = j。
由于我们从 0 开始，因此有一半以上的插槽是不同的。如果您只能填充少于 m/2 的它们，则至少有一个保持打开状态。
【讨论】：
让我们分解证明。
首先，一些背景。
使用哈希表，我们定义了一个探测序列P。对于任何项目q，跟随P 最终将导致哈希表中正确的项目。探测序列只是一系列函数{h_0, ..., h_M-1}，其中h_i 是一个哈希函数。
要将项目q 插入表中，我们查看h_0(q)、h_1(q) 等，直到找到一个空位。为了稍后找到q，我们检查了相同的位置序列。
一般来说，探测序列的形式为h_i(q) = [h(q) + c(i)] mod M，用于大小为M 的哈希表，其中M 是质数。函数c(i)是冲突解决策略，它必须有两个属性：
首先，c(0) = 0。这意味着序列中的第一个探测必须等于只执行哈希。
其次，{c(0) mod M, ..., c(M-1) mod M} 的值必须包含 0 到 M-1 之间的每个整数。这意味着如果你不断尝试寻找空点，探测序列最终会探测到每个阵列位置。
好的，我们已经设置了哈希表的工作原理。让我们看看二次探测。这只是意味着对于我们的c(i)，我们使用ai^2 + bi + c 形式的一般二次方程，尽管对于大多数实现，您通常只会看到c(i) = i^2（即b, c = 0）。
二次探测是否满足我们之前谈到的两个性质？嗯，这里c(0) = 0 肯定是真的，因为(0)^2 确实是0，所以它满足第一个属性。第二个属性呢？
事实证明，总的来说，答案是否定的。
定理。 当在大小为
M的哈希表中使用二次探测时，其中M是质数，只有探测序列中的第一个floor[M/2]探测是不同的。
让我们看看为什么会这样，使用反证法。
说这个定理是错误的。那么这意味着有两个值a 和b 使得0 <= a < b < floor[M/2] 探测相同的位置。
h_a(q) 和 h_b(q) 必须探测相同的位置，通过 (1)，所以 h_a(q) = h_b(q)。
h_a(q) = h_b(q) ==> h(q) + c(a) = h(q) + c(b), mod M.
两边的h(q)取消。我们的c(i) 只是c(i) = i^2，所以我们有a^2 = b^2。
求解 (4) 中的二次方程得到 a^2 - b^2 = 0，mod M。这是 difference of two squares，所以解是 (a - b)(a + b) = 0，mod M。
但请记住，我们说M 是质数。 (a - b)(a + b) 可以为零 mod M 的唯一方法是 [case I] (a - b) 为零，或 [case II] (a + b ) 为零mod M。
我不可能是对的，因为我们说a != b，所以a - b 必须不是零。
(a + b) 为零mod M 的唯一方法是a + b 等于M 的倍数或零。它们显然不能为零，因为它们都大于零。由于它们都小于floor[M/2]，因此它们的总和必须小于M。所以情况二也不对。
因此，如果定理是错误的，则两个量中的一个必须为零，而这两个量都不可能为零——矛盾！ QED：一旦你的表超过一半并且你的表大小是质数，二次探测就不能满足属性二。证明完毕！
【讨论】：
f(i) = i^2的情况；或者，它是否可以推广到任何二次方程？乍一看，在我看来，如果存在一个线性术语（例如，f(i) = a*i + b*i^2）将允许在 M/2 之前重复
来自Wikipedia：
对于素数 m > 2，c1 和 c2 的大多数选择将使 h(k,i) 对于 [0,(m − 1) / 2] 中的 i 是不同的。此类选择包括 c1 = c2 = 1/2、c1 = c2 = 1 和 c1 = 0,c2 = 1。因为给定元素只有大约 m/2 个不同的探针，所以它是当负载因子> 1/2时，很难保证插入会成功。
请参阅Data Structures and Algorithms with Object-Oriented Design Patterns in C++ 中的二次探测部分，以证明当 m 为素数时 m/2 个元素是不同的。
【讨论】：