计算 PI 至小数点后 42 位

Question

我正在尝试编写一个程序，使用该系列来计算 PI 的值。用户将输入希望程序计算系列的距离，然后程序应输出其计算的 PI 值。我相信我已经成功地为此编写了代码，但是它不适用于大数字，并且只给了我几个小数位。当我尝试使用cout << fixed << setprecision(42); 时，它只是给了我“nan”作为 PI 的值。

int main() {

    long long seqNum; // sequence number users will input
    long double val; // the series output

    cout << "Welcome to the compute PI program." << endl; // welcome message
    cout << "Please inter the sequence number in the form of an integer." << endl;
    cin >> seqNum; // user input

    while ( seqNum < 0) // validation, number must be positive
    {
        cout << "Please enter a positive number." << endl;
        cin >> seqNum;
    } // end while

    if (seqNum > 0)
    {
        for ( long int i = 0; i < seqNum; i++ )
        {
            val = val + 4*(pow(-1.00,i)/(1 + 2*i)); // Gregory-Leibniz sum calculation
        }// end for


        cout << val;
    } // end if

    return 0;
}

任何帮助将不胜感激。谢谢

Answer 1

您的问题涉及与double 值相关的基本原则：double 或任何浮点类型只能包含有效数字的固定上限。普通的、普通的doubles 没有无限的精度数字。有一个严格的上限。确切的限制是实现定义的，但在现代 C++ 实现中，典型的限制只有 16 或 17 位精度，甚至没有接近您想要的 42 位精度。

#include <limits>
#include <iostream>

int main()
{
    std::cout << std::numeric_limits<double>::max_digits10 << std::endl;
    return 0;
}

这为您的平台/C++ 编译器提供了最大精度数。这显示了 Linux 上 g++ 9.2 的最大 17 位精度（max_digits10 是 C++11 或更高版本，将 digits10 与旧 C++ 编译器一起使用以显示密切相关的指标）。

您想要的 42 位精度可能远远超出您的 doubles 可以处理的精度。有各种特殊用途的数学库可以执行更高精度的计算，如果您愿意，可以研究这些。

Answer 2

您没有对val 进行初始化或分配任何值，但是当您进行第一次迭代时正在阅读它

val = val + 4*(pow(-1.00,i)/(1 + 2*i));

这会导致您的程序拥有undefined behavior。初始化val，可能为零：

long double val = 0; // the series output

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除此之外，正如@SamVarshavchik 的回答中提到的那样，内置浮点类型可以达到的精度有一个硬性限制，42 位的重要性几乎肯定不在此范围内。同样，您使用的整数类型的大小可能最多为2^64，大约为10^19。

即使这些限制不是问题，该系列也需要对大约 10^42 项求和，以使 PI 的精度达到 42 位。将地球当前的所有计算能力结合起来，计算到这个精度需要的时间比宇宙存在的时间还要长。