使用向量对 3D 点进行正射投影

Question

我有 3D 点，我需要将它们进行 2D 正交投影到由原点和法线 n 定义的平面上。这基本上是从顶部看点（给定垂直向量）。我该怎么做？

我的想法是：

1. 将点 P 投影到 3D 平面上：P - P dot n * n
2. 相对于法线从“背面”查看 3D 平面（不确定如何定义）
3. 使用平面中点的最大-最小坐标进行正射投影以定义剪裁

我正在使用 iOS。

Answer 1

一种方法是：

1. 旋转坐标系，使关注平面位于 x-y 平面，法向量n与z轴对齐
2. 通过将点的 z 分量设置为 0 将点投影到 x-y 平面上

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设置坐标变换

这个问题有无限多的解决方案，因为我们总是可以在 x-y 平面上旋转一个解决方案来获得另一个有效的解决方案。

为了解决这个问题，让我们选择一个向量v，它位于转换后将与 x 轴对齐的平面中。任何向量都可以；让我们取平面中坐标为x=1 和y=0 的向量。

由于我们的平面与原点相交，其方程为：

x*n1 + y*n2 + z*n3 = 0
z = -(x*n1 + y*n2)/n3

替换x=1，y=0后，我们看到

v = [1 0 -n1/n3]

我们还需要确保v被规范化，所以设置

v = v/sqrt(v1*v1 + v2*v2 + v3*v3)

编辑：在n3=0 的情况下，上述方法将失败。找到v 的另一种方法是从我们的点集中取一个随机点P1，它不是n 的标量倍数并计算v = P1 - P1 dot n * n，这是@ 的投影987654337@上飞机。继续搜索您的积分，直到找到满足 (P1 dot n/norm(n)) != P1 的积分，这保证有效。

现在我们需要一个向量u，它将在转换后与 y 轴对齐。我们从n 和v 的叉积得到这个：

u = n cross v

如果n 和v 被规范化，那么u 被自动规范化。

接下来，创建矩阵

M = [ v1 v2 v3 ]
    [ u1 u2 u3 ]
    [ n1 n2 n3 ]

转换点

现在给定一个 3×N 点数组P，我们只需按照上面的两个步骤进行

1. P_transformed = M*P
2. P_plane = set the third row of P_transformed to zero

P_plane 的 x-y 坐标现在是平面中的二维坐标系。

如果您需要取回 3D 空间坐标，只需使用 P_space = M_transpose*P_plane 进行反向转换即可。