从欠定系统中删除不可解的方程

Question

我的程序试图求解一个线性方程组。为此，它组​​装矩阵coeff_matrix 和向量value_vector，并使用Eigen 来解决它们，如下所示：

Eigen::VectorXd sol_vector = coeff_matrix
        .colPivHouseholderQr().solve(value_vector);

问题在于，系统既可能被过度确定，也可能被低估。在前一种情况下，Eigen 给出正确或不正确的解决方案，我使用coeff_matrix * sol_vector - value_vector 检查解决方案。

但是，请考虑以下方程组：

a + b - c     =  0
        c - d =  0
        c     = 11
      - c + d =  0

在这种特殊情况下，Eigen 正确求解了后三个方程，但也给出了 a 和 b 的解。

我想要实现的是只求解只有一个解的方程，其余方程（这里的第一个方程）将保留在系统中。

换句话说，我正在寻找一种方法来找出当时在给定方程组中哪些方程可以求解，哪些不能，因为会有多个解。

您能提出任何实现这一目标的好方法吗？

编辑：请注意，在大多数情况下，矩阵不是正方形的。我在这里又添加了一行，只是为了注意也可能发生过度决定。

Answer 1

我认为您想要的是singular value decomposition (SVD)，它将为您提供您想要的确切信息。 SVD之后，“只有一个解的方程将被解”，解是伪逆的。它还会为您提供零空间（无限解的来源）和左零空间（不一致的来源，即无解）。

Answer 2

根据 SVD 评论，我可以做这样的事情：

Eigen::FullPivLU<Eigen::MatrixXd> lu = coeff_matrix.fullPivLu();

Eigen::VectorXd sol_vector = lu.solve(value_vector);
Eigen::VectorXd null_vector = lu.kernel().rowwise().sum();

AFAICS，对应于单个解的null_vector 行是0s，而对应于非确定解的行是1s。我可以使用 Eigen 的默认阈值在所有示例中重现这一点。

但是，我不确定我做的是否正确，或者只是注意到了一个随机模式。

Answer 3

您需要计算系统的行列式。如果行列式是 0，那么你有无限数量的解决方案。如果行列式很小，则存在解，但我不相信计算机找到的解（这会导致数值不稳定）。

这里是什么是行列式以及如何计算它的链接：http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant

请注意，高斯消除也应该起作用：http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination 使用这种方法，如果有无数个解决方案，您最终会得到 0 行。

编辑

如果矩阵不是方阵，首先需要提取一个方阵。有两种情况：

1. 您的变量比方程多：那么您要么没有解，要么没有解。
2. 方程多于变量：在这种情况下，求一个非空行列式的平方子矩阵。求解该矩阵并检查解。如果解决方案不适合，则意味着您没有解决方案。如果解适合，则意味着额外的方程线性依赖于提取的方程。

在这两种情况下，在检查矩阵的维度之前，删除只有 0 的行和列。

至于高斯消元，它应该直接用于非方阵。但是，这一次，您应该检查非空行（即具有一些非 0 值的行）的数量是否等于变量的数量。如果它更少，你有无限数量的解决方案，如果它更多，你没有任何解决方案。