有没有办法在没有循环的情况下计算 1.01^x，只使用整数 add、mul、sub、div、exp？答案

【问题标题】：Is there any way to compute 1.01^x without loops, using only integer add, mul, sub, div, exp?有没有办法在没有循环的情况下计算 1.01^x，只使用整数 add、mul、sub、div、exp？
【发布时间】：2016-12-01 01:53:48
【问题描述】：

有没有什么方法可以实现Uint256 -> Uint256函数f(x) = floor(1.01 ^ x)，只使用固定数量的操作add，mul，sub，div，exp，所有这些都只能对整数进行运算？

【问题讨论】：

但是，如果有（很有可能）输出的浮点部分，你想做什么？我认为 ALU 基本上是计算机用来计算指数的工具，所以这是一个已知问题。
我赞成你的问题，希望你能得到你想要的答案。
您是否必须能够处理整个 int256 范围而不会溢出，即如果结果可以适合 int256，那么您必须能够仅使用这些操作并且仅使用 int256 变量来计算它？ FWIW，一个查找表需要 17833 个条目
愚蠢的问题：Int256 是采用 [0..255] 中的值的类型，还是使用 256 位表示整数的类型？还是别的什么？
还有签名与否？和标准的二进制补码在是的情况下？如果是 256 位，我认为不使用循环没有任何意义，除非您想直接用芯片而不是程序来实现这一点

标签： algorithm math language-agnostic

【解决方案1】：

使用牛顿二项式级数

(1+h)^x = 1+x*h + x*(x-1)/2*h^2 + x*(x-1)*(x-2)/6*h^3 + ...
        = 1 + x*h*(1+(x-1)*h/2*(1+(x-2)*h/3*(1+...)))

要获得终止计算，首先必须减少 x，我认为是 log(2)/log(1.01) 的倍数。

基本上，在中间结果中，您必须使用某种定点算法。

【讨论】：

操作的问题说它只能对整数进行操作。那么自 h=0.01 以来是否允许 x*h ？
允许除以 100。
哦，也许我明白了
整数舍入目前不是主要问题。收敛是，即少量项提供足够准确的结果。对此没有任何想法。
啊，我一开始没有得到你的答案，我认为你的编辑意味着它不起作用。后来我什至问了一个类似的问题。不过，它工作正常。谢谢。

【解决方案2】：

我会尝试定点。假设您的 Int256 是无符号 8 位整数，然后尝试使用 8.8 或 8.16 或 8.32 固定格式。取决于您需要什么精度。

让我们将数字重写为a.b 格式并假设8.16（8.8 忽略了太多1.01 二进制数）所以你得到了：

1.01^x = (1+0.01*65536/65536)^x = (1+655/65536)^x
a=1
b=655

现在只需计算整数pow，例如通过平方计算幂：

Power by squaring for negative exponents

结果然后转换回整数，所以要么

floor（仅使用 a）
round（如果b>32767，则增加a）

为了避免循环，只需通过平方成几行复制粘贴行（每个位一个）来编码功率。

顺便说一句，如果您意识到自己正在乘以，则可以使用 +,<< 来完成：

1.01dec = 1.0000001010001111 bin

所以你可以为每个二进制文件1 做shift 和add 而不是mul，以防mul 是一个问题......

【讨论】：