将 n 划分为 k 个有限制的部分

Question

我需要一种算法，将数字n 划分为k 部分，并附加限制分区的每个元素必须介于a 和b 之间。理想情况下，满足这些限制的所有可能分区应该是等可能的。如果分区具有不同顺序的相同元素，则认为它们是相同的。

例如，n=10、k=3、a=2、b=4 一个只有 {4,4,2} 和 {4,3,3} 作为可能的结果。

是否有针对此类问题的标准算法？可以假设始终存在至少一个满足限制的分区。

Answer 1

您可以将其实现为递归算法。基本上，递归是这样的：

• 如果k == 1和a <= n <= b，那么唯一的分区是[n]，否则没有
• 否则，将x 从a 到b 的所有元素与n-x、k-1 的所有分区组合起来
• 为防止重复，还将下限a 替换为x

这是一些 Python（又名可执行伪代码）：

def partitions(n, k, a, b):
    if k == 1 and a <= n <= b:
        yield [n]
    elif n > 0 and k > 0:
        for x in range(a, b+1):
            for p in partitions(n-x, k-1, x, b):
                yield [x] + p

print(list(partitions(10, 3, 2, 4)))
# [[2, 4, 4], [3, 3, 4]]

这可以通过分别检查(k-1)*a 和(k-1)*b 的剩余元素的下限和上限并相应地限制x 的范围来进一步改进：

        min_x = max(a, n - (k-1) * b)
        max_x = min(b, n - (k-1) * a)
        for x in range(min_x, max_x+1):

对于具有 3,157 个解决方案的 partitions(110, 12, 3, 12)，这将递归调用的数量从 638,679 减少到 24,135。

Answer 2

这是一个使用条件概率的抽样算法。

import collections
import random

countmemo = {}


def count(n, k, a, b):
    assert n >= 0
    assert k >= 0
    assert a >= 0
    assert b >= 0
    if k == 0:
        return 1 if n == 0 else 0
    key = (n, k, a, b)
    if key not in countmemo:
        countmemo[key] = sum(
            count(n - c, k - 1, a, c) for c in range(a, min(n, b) + 1))
    return countmemo[key]


def sample(n, k, a, b):
    partition = []
    x = random.randrange(count(n, k, a, b))
    while k > 0:
        for c in range(a, min(n, b) + 1):
            y = count(n - c, k - 1, a, c)
            if x < y:
                partition.append(c)
                n -= c
                k -= 1
                b = c
                break
            x -= y
        else:
            assert False
    return partition


def test():
    print(collections.Counter(
        tuple(sample(20, 6, 2, 5)) for i in range(10000)))


if __name__ == '__main__':
    test()

Answer 3

如果k 和b - a 不是太大，您可以尝试随机深度优先搜索：

import random

def restricted_partition_rec(n, k, min, max):
    if k <= 0 or n < min:
        return []
    ps = list(range(min, max + 1))
    random.shuffle(ps)
    for p in ps:
        if p > n:
            continue
        elif p < n:
            subp = restricted_partition(n - p, k - 1, min, max)
            if subp:
                return [p] + subp
        elif k == 1:
            return [p]
    return []

def restricted_partition(n, k, min, max):
    return sorted(restricted_partition_rec(n, k, min, max), reverse=True)

print(restricted_partition(10, 3, 2, 4))
>>>
[4, 4, 2]

虽然我不确定在这种情况下是否所有分区都具有完全相同的概率。