关于使用数组和位向量的集合答案

【问题标题】：About sets using arrays and bit vectors关于使用数组和位向量的集合
【发布时间】：2014-10-14 14:21:07
【问题描述】：

我正在阅读以下位置的数组和位向量集。

http://www.brpreiss.com/books/opus4/html/page390.html

在本节中，我们考虑有限宇宙上的有限集。具体来说，我们考虑的宇宙是 {0,1,...,N-1}，即整数在从零到 N-1 的范围内，对于一些固定的和相对的 N的小值。

令 U= 0,1,..., N-1} 为宇宙。我们希望的每一组表示是 U 的一个子集。 U 的所有子集的集合称为 U 的幂集，写为 2 ^ U（即 2 的 U 次幂）。因此，我们希望表示的集合是 2 ^ U 的元素。集合 U 中的元素个数，写成 |U|，是 N。类似地，|2^U| = 2^|U|=2^N。这个观察应该是显而易见的：对于每个元素全集 U 只有两种可能：要么是，要么它不是给定集合的成员。

这表明了一个相对简单的表示 2^U 的元素——一个布尔值数组，每个元素对应一个通用集。通过在 U 中使用数组下标，我们可以表示隐含的集合。即，如果第 i 个数组，我是集合的成员元素为真。

我对上述文字的问题是

作者所说的“U 的所有子集的集合称为 U 的幂集，写成 2 ^ U（即 2 的 U 幂）是什么意思？例如，如果我们有 U= { 0,1,2} 那么我们有 2^3 = 8 是所有子集的集合，但我们有超过 8 个，例如 {empty set}, {0}, {1}, {2}, {0,1 }、{0,2}、{0,3}、{1,2} 和 {1,2,3} 是 9。如果我错了，请纠正我？
作者如何以及为什么想出 2 的幂而不是 3 等任何其他数字？

请澄清。

【问题讨论】：

标签： c math data-structures set

【解决方案1】：

@hacks 对第一个问题的回答是正确的，但我认为理解第二个问题实际上更重要，因为它准确地显示了位数组的真正含义。

您将您的集合 {0,1,2} 表示为一个位数组，如下所示：

2 1 0  <-- set members
0 0 0  <-- bit array value (present/not present)

（我已将套装向后排序，原因稍后将变得显而易见。）
位数组[0,0,0] 表示空集。没有集合成员存在。子集{1,2} 表示为：

2 1 0  <-- set members
1 1 0  <-- bit array value

每个集合成员可以存在或不存在；零或一。每个成员有两种可能性，这意味着我们有 2*2*2=2^3 具有 3 个元素的集合的子集。所以这是作者提出2而不是其他数字的地方。

您现在应该可以看到位数组只不过是一个带有|U| 位的二进制数。实际上，生成幂集的一种方法是从0 到(2^|U|)-1 以二进制计数：

0  000  {}
1  001  {0}
2  010  {1}
3  011  {0,1}
4  100  {2}
5  101  {0,2}
6  110  {1,2}
7  111  {0,1,2}

现在还应该清楚的是，我已将集合向后排序，以便第一个元素与对应于位数组的二进制数的 LSB 对齐。您可以按其他方式订购，但bit 0 对应于U[0] 似乎更合乎逻辑。

【讨论】：

【解决方案2】：

U= {0,1,2} 的幂集将包含

{empty set}
{0}
{1}
{2}
{0,1}
{0,2}
{1,2}
{0,1,2}

等于 2^|U|。

我想知道您是如何得出{0,3} 和{1,2,3} 的子集的？

【讨论】：