下表是否有可用的封闭式表格？

Question

下面是一个具有递归关系的表格，因为当前单元格的值是上单元格和左单元格的总和。

我想找到由v(x) 表示的任何给定行的奇数位置，如第一列所示。

目前，我正在维护两个 one 数组，我用新的 sum 值更新它们并逐字检查每个位置的值是奇数还是偶数。

是否存在一个封闭的表格，可以让我直接说出可用的奇数位置（例如，对于第 4 行，在这种情况下它应该告诉我 p1 和 p4 是奇数位置）。

由于它遵循特定的模式，我非常肯定应该存在一个封闭的形式，它会在数学上告诉我位置，而不是计算每个值并检查它。

Answer 1

您看到的数字是帕斯卡三角形中的数字，只是旋转了 90 度。您通常会看到它是这样写的：

              1
            1   1
          1   2   1
        1   3   3   1
      1   4   6   4   1
    1   5   10  10  5   1
  1   6   15  20  15  6   1
1   7   21  35  35  21  7   1
            ...

您正在沿着从左（或右，取决于您的视角）条带向下的对角条纹切割帕斯卡三角形，而您要问的问题是如何找到每个条纹中奇数的位置。

有一个名为Lucas's theorem 的数学结果可用于确定帕斯卡三角形中的给定条目是偶数还是奇数。帕斯卡三角形的第 m 行第 n 列的条目由 (m 选择 n) 给出，卢卡斯定理说 (m 选择 n) mod 2 (如果数字是奇数则为 1，否则为 0) 可以通过比较位找到m 和 n。如果 n 有一个位设置在 m 没有设置该位的位置，则 (m 选择 n) 是偶数。否则，(m 选择 n) 是奇数。

举个例子，让我们试试（5选3）。 5 中的位为 101。3 中的位为 011。由于 3 的 2 位已设置，而 5 的 2 位未设置，所以数量（5 选择 3）应该是偶数。并且由于 (5 choose 3) = 10，我们看到确实如此！

在使用关系运算符的伪代码中，您基本上需要以下内容：

if ((~m & n) != 0) {
    // Row m, entry n is even
} else {
    // Row m, entry n is odd.
}