如何计算插值三角形曲面上的主曲率？

Question

给定 3D 三角形网格中的 3 个顶点及其法线，我将它们插值在三角形表面上。我想计算该曲面中每个点的主曲率 k1、k2。

我的代码大致如下所示：

Vertex v1,v2,v3,v12,p,vp; // Vertex is an structure of x,y,z and some operators
v1 = ...;   v2 = ...;   v3 = ...;
Vertex n1,n2,n3,n12,n;//normals
n1 = ...;   n2 = ...;   n3 = ...;
int interLevels = ceil(sqrt(tArea(v1,v2,v3)));
for (float a=0; a<=1;a+=1.0f/interLevels){
    v12 = v1*a+v2*(1-a);
    n12 = n1*a+n2*(1-a);
    for (float b=0; b<=1;b+=1.0f/interLevels){
        p = v12*b+v3*(1-b);
        n = n12*b+n3*(1-b);
        normalize(n);

        Vertex k1,k2;       

    }
}

我们如何计算 k1 和 k2？ 依赖给定的输入就足够了吗，还是应该考虑附近的顶点？

Answer 1

至少有两种方法可以解决这个问题

方法 1

您可以使用主曲率是 shape operator 的特征值这一事实 - 一个在其两个切向量上定义的空间上的线性函数。

程序：

1. compute shape operator:

求两个切向量，然后计算

你会发现一个矩阵

2. and then the eigenvalues of this matrix are principal curvatures k1, k2

方法2

我们将使用表面S 在给定点P 的主曲率是方程实域中的根的事实

(EG-F^2)k^2 - (EN-2FM+GL)k + LN-M^2 = 0      (1)

其中k 是主曲率，系数取自第一和第二基本形式。它们是根据参数方程给出的。为了得到这些根，我们将使用这样一个事实，而不是从 (1) 中计算 k1 和 k2，我们可以找到矩阵 A 的特征值，其中 A 定义为

矩阵F1包含第一基本形式的系数

矩阵F2 包含第二基本形式的系数