在matlab中计算闭合曲线（或多边形）的曲率

Question

考虑以下一组点

x = [1.34, 0.92, 0.68, 0.25, -0.06, -0.34, -0.49, -0.72, -0.79, -0.94, -1.35, -0.35, 0.54, 0.68, 0.84, 1.20, 1.23, 1.32, 1.34];
y = [0.30, 0.43, 0.90, 1.40, 1.13, 1.08, 1.14, 1.23, 0.52, 0.21, -0.20, -0.73, -0.73, -0.82, -0.71, -0.76, -0.46, -0.13, 0.30];

给出闭合曲线（或多边形）：

figure(1)
hold on
plot(x,y,'k');
scatter(x,y,'r');
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
axis equal

我希望计算曲线上各点的曲率（尽可能准确）。

到目前为止，我所拥有的是切向量（一阶导数）和曲率（二阶导数）的简单计算：

dsx = diff(x);
dsy = diff(y);
ds = sqrt(dsx.^2+dsy.^2);
Tx = dsx./ds;
Ty = dsy./ds;
ds2 = 0.5*(ds(1:end-1)+ds(2:end));
Hx = diff(Tx)./ds2;
Hy = diff(Ty)./ds2;

但我得到一个非常不准确的曲率：

figure(1)
quiver(x(1:end-2),y(1:end-2),Hx,Hy,'b','autoscalefactor',1.2); 
xlim([-2 2]); ylim([-2 2]);
axis equal

这应该是一个简单的计算，但是它不起作用，请建议：我怎样才能以最简单的近似值找到曲率并在方向和大小上具有合理的精度？

Answer 1

曲率计算是正确的，它是关闭的绘图。请注意，diff 计算后续元素之间的差异，从而产生一个元素少一个的向量。它估计样本对之间的导数。如果重复此操作，您将在样本处获得二阶导数，但不会在第一个或最后一个样本处获得（现在您的元素减少了 2 个）。

您确实注意到了这一点，因为除了一个顶点之外，您只绘制了一个曲率。

所以您需要做的就是在一阶导数之后复制一个点（我将最后一个点添加到开头，因此元素的顺序与输入数组中的顺序相同）。索引语句Tx([end,1:end]) 就是这样做的。

在下面的代码中，我还将法线 (Ty,-Tx) 绘制为黑色。

x = [1.34, 0.92, 0.68, 0.25, -0.06, -0.34, -0.49, -0.72, -0.79, -0.94, -1.35, -0.35, 0.54, 0.68, 0.84, 1.20, 1.23, 1.32, 1.34];
y = [0.30, 0.43, 0.90, 1.40, 1.13, 1.08, 1.14, 1.23, 0.52, 0.21, -0.20, -0.73, -0.73, -0.82, -0.71, -0.76,-0.46, -0.13, 0.30];

% First derivative
dsx = diff(x);
dsy = diff(y);
ds = sqrt(dsx.^2+dsy.^2);
Tx = dsx./ds;
Ty = dsy./ds;

% Second derivative & curvature
ds2 = 0.5*(ds([end,1:end-1])+ds);
Hx = diff(Tx([end,1:end]))./ds2;
Hy = diff(Ty([end,1:end]))./ds2;

% Plot
clf
hold on
plot(x,y,'ro-');
x = x(1:end-1);
y = y(1:end-1); % remove repeated point
quiver(x+dsx/2,y+dsy/2,Ty,-Tx,'k','autoscalefactor',0.3); 
quiver(x,y,Hx,Hy,'b','autoscalefactor',1.2); 
set(gca,'xlim',[-2 2],'ylim',[-1.5 2]);
axis equal

Answer 2

严格来说，这个问题没有意义。

多边形的顶点没有曲率，边缘的曲率为零。

您需要更具体地说明要评估的数量，例如解释目的。