用 3D 顶点绘制 2D 面

Question

请多多包涵，因为我从未处理过与此相关的任何事情，而且过去 两周我一直在处理这个问题。

我正在开发一个从 3D 模型中读取人脸的程序。通过在 XYZ 坐标中连接一系列 3 或 4 个顶点来绘制每个面。我的程序（或至少是意图）将遍历每个面部，将纹理图像映射到面部，然后保存图片。我可以处理后两个部分，但我无法将面部映射到 2D 表面。我无法访问法线，我相信这会有所帮助。 （四边形的顶点将始终位于同一平面上，因此四边形不会“弯曲”）。

到

我考虑过的潜在解决方案（但不知道如何实施）：

1. 使用 2 个顶点，计算与轴的角度偏差（例如，使用四边形的顶部 2 个顶点来计算旋转 Y）。 对所有三个轴执行此操作后，我可以将顶点旋转相反的旋转以希望使其变平（我不知道如何在数学上做到这一点）。但是，我在此解决方案中看到的问题是 x 坐标可以通过 2 次旋转（y 和 z）来更改，而不仅仅是 1 次（y 和 z 坐标也是如此）。
2. 我没有旋转面部，而是重新创建了形状。就像在解决方案 1 中一样，我使用两个顶点。我不计算旋转，而是计算 ege 的长度和斜率。然后我可以在 2D 空间中绘制同一条线，并在其他边缘重复。我找到了边缘的斜率，所以我可以得到正确的相交边缘的角度（想想极坐标）。我对如何执行此操作有一个想法，但我不确定它是否是最佳解决方案。

我猜，代码答案被接受但不是必需的。 （VB、C#、JS，无论你喜欢什么）我也想知道我正在做的事情背后的数学原理。鼓励详尽的解释。

Answer 1

一种方法是计算将面法线映射到(0, 0, 1) 的旋转。将该旋转应用于面将使其位于 xy 平面中。

要计算人脸法线，取任意三个点p1, p2, p3并计算

n = normalize((p2 - p1) x (p3 - p1)),

x 是叉积。

那么，旋转轴为：

rotAxis = n x (0, 0, 1) = (ny, -nx, 0)

旋转角度为：

cos rotAngle = n * (0, 0, 1) = nz
sin rotAngle = sqrt(1 - nz * nz)

一旦你有了这个，你就可以将旋转应用到脸部（例如，converting the rotation to a rotation matrix）。然后，只需放下 z 坐标。

最后，您还可以根据需要执行 2D 变换，如平移和 2D 旋转。

Answer 2

要获得面上点的 2D 坐标，您需要在同一平面上的两个正交单位向量。我们称它们为 u 和 v。那么对于平面中的每个 3D 点 p，其 2D 坐标为 (u.v, v.p)，其中 '.'是点积。

首先计算表面的法线。平面中任何两个向量的叉积都可以。您可能想四处走动，将面部每个角度的叉积相加，以平均所有错误。将法线的长度归一化为 1 并将其命名为 n。

现在我们需要一个与法线正交的任意向量。选取n中坐标最小的轴，沿该轴做一个单位向量x，去掉其沿n的分量（即 >x -= n*(x.n)) 并对其长度进行归一化得到u。

那么只需将n和u的叉积得到v。