Matlab：从符号表达式和/或系统中查找特定变量

Question

我有一个由三个符号方程组成的系统：

(1) Ua  = (Un*Ga -ia -(U2 -Ug2)*G3)/Ga;
(2) U2  = (Ug2*G3 -(Uc2m - Ua)*Ca*Fs)/(Ca*Fs + G3);
(3) Ug2 = ((Ua -Uc2m)*Ca*Fs* G3 -ig2*(Ca*Fs + G3)) / ((G3 + Gg2)*(Ca*Fs + G3) - G3*G3);

在 (2) 和 (1) 中替换 (3)，然后在 (1) 中替换 (2)，我有 (1) 如下：

Ua  = (Un*Ga -ia -((((Ua -Uc2m)*Ca*Fs* G3 -ig2*(Ca*Fs + G3)) / ((G3 + Gg2)*(Ca*Fs + G3) - G3*G3)*G3 -(Uc2m - Ua)*Ca*Fs)/(Ca*Fs + G3) -((Ua -Uc2m)*Ca*Fs* G3 -ig2*(Ca*Fs + G3)) / ((G3 + Gg2)*(Ca*Fs + G3) - G3*G3))*G3)/Ga;

Ua 出现在成员的左侧和右侧。有没有办法（使用 Matlab 或任何其他工具）：

1. 简化左侧只有Ua 的表达式
2. 从三个符号方程的原始系统开始，自动简化所有方程，指定哪些符号构成三个变量（将出现在左侧），并将其余的作为参数留在右侧。

Answer 1

直觉上我会说只是做solve(expr1, expr2, expr3, 'Ua')，但这似乎不起作用，（至少在 R2010a 上）...

所以我被黑客入侵了。现在，我不是一个符号工具箱的人，所以很可能有一种“更好”的方法来做到这一点。不过，以下函数回答了您的两个问题：

function solution = solveFor(exprs, var)

    %// Split the equations up into the RHS and LHS
    C = regexp(expr, '\s*=\s*', 'split');
    C = cat(1, C{:});

    %// The equation we're solving for 
    kk = find(strcmp(C(:,1), var));

    %// Substitute every expression into every other expression
    for ii = 1:size(C,1)
        if ii==kk, continue; end

        for jj = 1:size(C,1)
            if jj==ii, continue; end

            C{jj,2} = regexprep(C{jj,2}, C{ii,1}, C{ii,2});
        end
    end

    %// Solve for the requested variable & simplify
    solution = simplify(solve([C{kk,1} '=' C{kk,2}], C{kk,1}));

end

这样使用：

>> expr{1} = 'Ua  = (Un*Ga -ia -(U2 -Ug2)*G3)/Ga';
>> expr{2} = 'U2  = (Ug2*G3 -(Uc2m - Ua)*Ca*Fs)/(Ca*Fs + G3)';
>> expr{3} = 'Ug2 = ((Ua -Uc2m)*Ca*Fs*G3 - ig2*(Ca*Fs + G3)) / ((G3 + Gg2)*(Ca*Fs + G3) - G3*G3)'; 
>> Ua = solveFor(expr, 'Ua')
Ua = 
    -(G3*Gg2*ia - G3*Ga*Gg2*Un + Ca*Fs*G3*ia + Ca*Fs*G3*ig2 + Ca*Fs*Gg2*ia - Ca*Fs*G3*Gg2*Uc2m - Ca*Fs*G3*Ga*Un - Ca*Fs*Ga*Gg2*Un)/(G3*Ga*Gg2 + Ca*Fs*G3*Ga + Ca*Fs*G3*Gg2 + Ca*Fs*Ga*Gg2)

明显的限制：

• 所有方程必须采用上述形式，例如，'single variable = expression'
• 方程必须以字符串形式给出，因此不能作为其他符号运算的结果（尽管在顶部使用 expr = cellfun(@char, expr, 'UniformOutput', false); 会取消该限制）

编辑

对solve 的调用具有以下语法：

S = solve(expr{:}, 'Ua,U2,Ug2');

因此，要自动化该过程，您可以将上面的函数修改为以下更简单的形式：

function solution = solveFor(exprs, var)

    %// Syms or strings?
    if ~iscellstr(exprs) && all(cellfun('isclass', exprs, 'sym'))
        exprs = cellfun(@char, expr, 'UniformOutput', false); 
    else
        error(...);
    end

    %// Split the equations up into the RHS and LHS
    C = regexp(expr, '\s*=\s*', 'split');
    C = cat(1, C{:});

    %// Solve for the requested variables
    vars = cellfun(@(x)[x ','], C(:,1), 'UniformOutput', false);
    vars = [vars{:}];
    solution = solve(expr{:}, vars(1:end-1));

    %// Extract desired solution
    solution = simplify(solution.(var));

end

Answer 2

我不确定在这种情况下是否需要 @RodyOldenhuis 的所有辛勤工作。这只是正确使用solve 的问题。当您提供 N 个方程时，通常最好要求它解决您自己选择的 N 个变量（不指定任何变量名称）：

syms Ua Ug2 U2 ia Un Ga G3 Uc2m Ca Fs ig2 Gg2
eqs = [Ua == (Un*Ga -ia -(U2 -Ug2)*G3)/Ga
       U2 == (Ug2*G3 -(Uc2m -Ua)*Ca*Fs)/(Ca*Fs + G3)
       Ug2 == ((Ua -Uc2m)*Ca*Fs*G3 -ig2*(Ca*Fs + G3)) / ((G3 + Gg2)*(Ca*Fs + G3) -G3*G3)];

s = solve(eqs,Ua,U2,Ug2)

然后s.Ua 返回

-(G3*Gg2*ia - G3*Ga*Gg2*Un + Ca*Fs*G3*ia + Ca*Fs*G3*ig2 + Ca*Fs*Gg2*ia - Ca*Fs*G3*Gg2*Uc2m - Ca*Fs*G3*Ga*Un - Ca*Fs*Ga*Gg2*Un)/(G3*Ga*Gg2 + Ca*Fs*G3*Ga + Ca*Fs*G3*Gg2 + Ca*Fs*Ga*Gg2)

不要错误地将Ua、U2 和Ug2 作为向量传递给solve（除非您使用的是 R2015a+，我相信）。

这也适用于旧的基于字符串的技术（如果需要，可以用单个字符串输入替换元胞数组）：

eqs = {'Ua = (Un*Ga -ia -(U2 -Ug2)*G3)/Ga'
       'U2 = (Ug2*G3 -(Uc2m -Ua)*Ca*Fs)/(Ca*Fs + G3)'
       'Ug2 = ((Ua -Uc2m)*Ca*Fs*G3 -ig2*(Ca*Fs + G3)) / ((G3 + Gg2)*(Ca*Fs + G3) -G3*G3)'};

s = solve(eqs{:},'Ua','U2','Ug2')

这适用于 R2013a 和 R2015a。我不知道旧版本是否可以处理。