为什么在 Matlab 中使用卷积矩阵而不是 conv() 函数？

Question

我知道如果我们有两个向量——比如 X 和 Y，我们可以在 Matlab 中使用Z = conv(X, Y) 计算它们的卷积。还有另一种方法可以做到这一点，即as described on Mathworks.com，通过卷积矩阵：

n = length(Y);
Z = convmtx(X,n)*Y;

我有两个问题：

1. 如果可以依赖conv(X, Y)，为什么还要使用卷积矩阵？
2. 引用的文档说前一种方法更有效，但不幸的是他们没有解释原因。主要是因为第二种方法需要length(Y)的计算和分配，还是更多（矩阵乘法比卷积运算更高效等）？

谢谢！

编辑：我也联系了 Mathworks.com，我想我会分享他们的答案：

你可以亲眼看到，如果你运行这个，conv 确实更有效率 代码。

tfs = 0; tsl = 0;
Nt = 20; sh = 500;
for kj = 1:Nt
    q = randn(10000,1); h = randn(sh,1);
    tic
    fst = conv(q,h);
    tfs = tfs+toc;
    tic
    slo = convmtx(q,sh); slo = slo*h;
    tsl = tsl+toc;
end
tfs = tfs/Nt; tsl = tsl/Nt; tsl/tfs

您可以看到 conv 的速度提高了大约 120 倍。有几个 出现这种情况的原因，但最重要的可能是 conv 是 （几乎）一个内置的编译函数，而 convmtx 是在 MATLAB 中编码的 语言并在调用时被解释（即，它被解析，受到 层类型检查等）。此外，当您调用 convmtx 时，您会创建许多 输入数组的副本，即使您真的只需要一个。

Answer 1

卷积矩阵只是一个矩阵，它在乘法时会得到与卷积相同的结果。它始终是Toeplitz 矩阵。

卷积矩阵不适用于卷积的实际计算。它适用于需要将卷积表示为矩阵乘法的情况。

作为一个类比，考虑discrete Fourier transform (DFT)。众所周知，DFT 几乎总是使用非常有效的FFT 算法来计算。但如果你愿意，你可以represent the DFT as a matrix。您永远不会将其用于 DFT 的实际计算；但从概念上讲，有时将 DFT 表示为矩阵乘法会有所帮助。例如，这允许将 DFT 视为change of basis in a vector space。