数值求解非多项式方程

Question

我的方程式有问题，我尝试使用 MATLAB 和 Symbolic Toolbox 进行数值求解。我在 MATLAB 帮助的几个源页面之后，掌握了一些技巧并尝试了其中的大部分，但仍然没有令人满意的结果。

我的目标是求解具有q1、q2 和q3 角度的三个非多项式方程组。这些变量代表我的工业机械手中的关节角度，我想要实现的是解决这个模型的逆运动学。我的方程组如下所示：http://imgur.com/bU6XjNP

我正在解决它

numeric::solve([z1,z2,z3], [q1=x1..x2,q2=x3..x4,q3=x5..x6], MultiSolutions)

根据我的需要更改xn 常量。然而我仍然得到一些奇怪的结果，q1 var 偏离了大约 0.1 rad，q2 和 q3 偏离了 ~0.01 rad。我对数值求解没有太多经验，所以我只需要信息，它应该看起来像这样吗？

如果不是，你建议我接下来应该采取什么有效的选择？也许将这个方程转换为多项式，也许使用不同的工具箱？

或者，如果尝试在 Matlab 中执行此操作，在使用 solve() 时如何限制您的解决方案？我正在考虑与 Symbolic Toolbox 的 assume() 和 assumeAlso 等效。

感谢您的帮助。

Answer 1

非线性方程组的数值解通常被认为是一个迭代最小化过程，其中涉及到左右手边差范数的最小化（即找到全局最小值）的方程。例如fsolve 基本上使用牛顿迭代。这些方法执行“确定性”优化：它们从初始猜测开始，然后基本上根据梯度的相反方向在未知空间中移动，直到找不到解。

你会遇到两种问题：

局部最小值：迭代的停止规则与泛函的梯度有关。当梯度变小时，迭代停止。但是除了所需的全局最小值之外，梯度可能会随着局部最小值而变小。当最初的猜测与实际解决方案相差甚远时，您就会陷入错误的解决方案。

病态：未知数的大变化可以反映到数据的大变化中。因此，数据上的小数值误差（例如机器舍入）可能会导致未知数的较大变化。

由于上述问题，您的数值算法找到的解决方案可能与实际解决方案有所不同（甚至相关）。

我建议您通过选择起始猜测来进行一致性测试，例如在使用fsolve 时，非常接近实际解决方案，并验证您的最终结果是否准确。然后你会发现，通过让最初的猜测离实际解决方案更远，你的结果很可能会出现一些（甚至是很大的）错误。当然，误差的实体取决于方程组的性质。在一些幸运的情况下，这些错误也可以保持很小。