由 *removing* 集构建的贪婪集覆盖算法

Question

我正在尝试使用贪心算法实现集合覆盖问题的解决方案。

它的经典贪心逼近算法是

input: collection C  of sets over universe U  , costs: C→R ≥0    
output: set cover S   
1. Let S←∅.  
2. Repeat until S covers all elements:  
3.   Add a set s to S, where s∈C maximizes the number of elements in s not yet covered by set s in S, divided by the cost c(s). 
4. Return S.  

我的问题分为两部分：

一个。反向执行算法是否是有效算法，即

input: collection C  of sets over universe U  , costs: C→R ≥0    
output: set cover S   
1. Let S←C  .  
2. Repeat until there are no s∈S such that S-s=S (i.e. all elements in s are redundant):  
3.   Remove a set s from S, where s∈S minimises the number of elements in s, divided by the cost c(s). 
4. Return S.  

b.问题的本质是很容易得到 C 并且冗余集的数量有限（removal 算法会表现更好吗？

Answer 1

该算法肯定会返回一个有效的集合覆盖，因为它在每一步都会检查 s 的所有元素是否都是冗余的。 直觉上我觉得 b 部分是正确的，尽管我无法为它写出正式的证明。阅读Vijay Vazirani 的第 2 章，因为它可能有助于分析部分。