用 Isabelle 证明谓词逻辑

Question

我试图证明以下引理：

lemma myLemma6: "(∀x. A(x) ∧ B(x))= ((∀x. A(x)) ∧ (∀x. B(x)))"

我试图从消除 forall 量词开始，所以这是我尝试过的：

lemma myLemma6: "(∀x. A(x) ∧ B(x))= ((∀x. A(x)) ∧ (∀x. B(x)))"
  apply(rule iffI)
  apply ( erule_tac x="x" in allE)
  apply (rule allE)
  (*goal now: get rid of conj on both sides and the quantifiers on right*)
  apply (erule conjE) (*isn't conjE supposed to be used with elim/erule?*)
  apply (rule allI)
  apply (assumption)
  
  
  apply ( rule conjI) (*at this point, the following starts to make no sense... *)
    
   apply (rule conjE) (*should be erule?*)
   apply ( rule conjI)
   apply ( rule conjI)

  ...

最后我只是根据之前申请的结果开始行动，但对我来说似乎不对，可能是因为一开始有一些错误......有人可以向我解释我的错误以及如何完成这个证明正确吗？

提前致谢

Answer 1

在这个早期阶段消除全称量词并不是一个好主意，因为你甚至没有任何可以插入的值（你提供的 x 在那个时候不在范围内，这这就是为什么它在 Isabelle/jEdit 中以橙色背景打印的原因）。

在你做iffI之后你有两个目标：

goal (2 subgoals):
 1. ∀x. A x ∧ B x ⟹ (∀x. A x) ∧ (∀x. B x)
 2. (∀x. A x) ∧ (∀x. B x) ⟹ ∀x. A x ∧ B x

现在让我们专注于第一个。您应该首先应用右侧的介绍规则，即conjI 和allI。剩下的就是

goal (3 subgoals):
 1. ⋀x. ∀x. A x ∧ B x ⟹ A x
 2. ⋀x. ∀x. A x ∧ B x ⟹ B x
 3. (∀x. A x) ∧ (∀x. B x) ⟹ ∀x. A x ∧ B x

现在您可以应用x 实例化的allE，第一个目标变为⋀x. A x ∧ B x ⟹ A x，然后您可以使用erule conjE 和assumption 解决此问题。第二个目标的作用类似。

对于最后一个目标，也类似：先应用引入规则，然后应用消除规则和assumption，就完成了。

当然，Isabelle 的所有标准证明者，如 auto、force、blast，甚至像 metis、meson、iprover 这样简单的证明者都可以轻松自动解决这个问题，但仅此而已可能不是你想要的。