python在不使用sympy的情况下求解三次方程

Question

不使用 sympy 可以解三次方程吗？

例子：

import sympy as sp
xp = 30
num = xp + 4.44
sp.var('x, a, b, c, d')
Sol3 = sp.solve(0.0509 * x ** 3 + 0.0192 * x ** 2 + 3.68 * x - num, x)

结果是：

[6.07118098358257, -3.2241955998463 - 10.0524891203436*I, -3.2241955998463 + 10.0524891203436*I]

但我想找到一种方法来使用 numpy 或根本不使用 3 部分库

我用 numpy 试过了：

import numpy as np
coeff = [0.0509, 0.0192, 3.68, --4.44]
print(np.roots(coeff))

但结果是：

[ 0.40668245+8.54994773j  0.40668245-8.54994773j -1.19057511+0.j]

Answer 1

在您的 numpy 方法中，您在最终系数方面犯了两个小错误。

在SymPy 示例中，您的最后一个系数是- num，根据您的代码，这是：-num = - (xp + 4.44) = -(30 + 4.44) = -34.44

在您的NumPy 示例中，最后一个系数是--4.44，它是4.44，不等于-34.33。

如果您编辑NumPy 代码，您将获得：

import numpy as np
coeff = [0.0509, 0.0192, 3.68, -34.44]
print(np.roots(coeff))
[-3.2241956 +10.05248912j -3.2241956 -10.05248912j
  6.07118098 +0.j        ]

因此答案是相同的（注意NumPy 使用j 表示复数。SymPy 使用I）

Answer 2

你可以实现cubic formula

这个来自mathologer 的 Youtube 视频可以帮助理解它。

基于此，ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的三次函数可以写成这样：

def cubic(a,b,c,d):
    n = -b**3/27/a**3 + b*c/6/a**2 - d/2/a
    s = (n**2 + (c/3/a - b**2/9/a**2)**3)**0.5
    r0 = (n-s)**(1/3)+(n+s)**(1/3) - b/3/a
    r1 = (n+s)**(1/3)+(n+s)**(1/3) - b/3/a
    r2 = (n-s)**(1/3)+(n-s)**(1/3) - b/3/a
    return (r0,r1,r2)

公式的简化版只需要获取c和d作为参数（又名p和q），可以这样实现：

def cubic(p,q):
    n = -q/2
    s = (q*q/4+p**3/27)**0.5
    r0 = (n-s)**(1/3)+(n+s)**(1/3)
    r1 = (n+s)**(1/3)+(n+s)**(1/3)
    r2 = (n-s)**(1/3)+(n-s)**(1/3)
    return (r0,r1,r2)

print(cubic(-15,-126))
(5.999999999999999, 9.999999999999998, 2.0)

我会让你混合复数运算以正确获得所有 3 个根