依赖类型：向量的向量

Question

我是依赖类型的新手（我正在尝试 Idris 和 Coq，尽管它们之间存在很大差异）。

我试图表达以下类型：给定一个类型 T 和一个由 k 个 nats n1, n2, ... nk 组成的序列，一个由长度为 n1, n2, 的 T 的 k 个序列组成的类型。 .. nk 分别.

即k个向量的向量，其长度由参数给定。 这可能吗？

Answer 1

您可以使用异构列表执行此操作，如下所示。

Require Vector.
Require Import List.
Import ListNotations.

Inductive hlist {A : Type} (B : A -> Type) : list A -> Type :=
| hnil : hlist B []
| hcons : forall a l, B a -> hlist B l -> hlist B (a :: l).

Definition vector_of_vectors (T : Type) (l : list nat) : Type :=
  hlist (Vector.t T) l.

那么如果l 是您的长度列表，那么vector_of_vectors T l 的类型将是您描述的类型。

比如我们可以构造一个vector_of_vectors bool [2; 0; 1]的元素：

Section example.
  Definition ls : list nat := [2; 0; 1].

  Definition v : vector_of_vectors bool ls :=
    hcons [false; true]
          (hcons []
                 (hcons [true] hnil)).
End example.

此示例使用一些符号表示您可以这样设置的向量：

Arguments hnil {_ _}.
Arguments hcons {_ _ _ _} _ _.

Arguments Vector.nil {_}.
Arguments Vector.cons {_} _ {_} _.

Delimit Scope vector with vector.
Bind Scope vector with Vector.t.
Notation "[ ]" := (@Vector.nil _) : vector.
Notation "a :: v" := (@Vector.cons _ a _ v) : vector.
Notation " [ x ] " := (Vector.cons x Vector.nil) : vector.
Notation " [ x ; y ; .. ; z ] " :=  (Vector.cons x (Vector.cons y .. (Vector.cons z Vector.nil) ..)) : vector.

Open Scope vector.

Answer 2

在 Idris 中，除了创建自定义归纳类型外，我们还可以重用异构向量的标准类型——HVect：

import Data.HVect

VecVec : Vect k Nat -> Type -> Type
VecVec shape t = HVect $ map (flip Vect t) shape

val : VecVec [3, 2, 1] Bool
val = [[False, False, False], [False, False], [False]] -- the value is found automatically by Idris' proof-search facilities

Answer 3

为了完整起见，这里是 Idris 中的一个解决方案，其灵感来自 James Wilcox 发布的解决方案：

module VecVec

import Data.Vect

data VecVec: {k: Nat} -> Vect k Nat -> (t: Type) -> Type where
    Nil : VecVec [] t
    (::): {k, n: Nat} -> {v: Vect k Nat} -> Vect n t -> VecVec v t -> VecVec (n :: v) t

val: VecVec [3, 2, 3] Bool
val = [[False, True, False], [False, True], [True, False, True]]

此示例使用括号列表自动转换为基本构造函数 Nil 和 :: 的任何数据类型定义它们。