不理解 Monoid 定义中的态射符号答案

【问题标题】：Don't understand notation of morphisms in Monoid definition不理解 Monoid 定义中的态射符号
【发布时间】：2019-05-18 15:41:43
【问题描述】：

我试图从范畴论的角度来理解 Monoid 是什么，但我对用来描述它的符号有点困惑。这是维基百科：

在范畴论中，一个幺半群（或幺半群对象）（M, μ, η）在一个幺半群（C, ⊗, I）中是一个对象 M 加上两个态射

μ: M ⊗ M → M 称为乘法，

η：I→M称为单位

我的困惑是关于态射符号。为什么二元运算⊗ 是态射符号的一部分？我对态射的理解是，它是一种可以从一种类型映射到另一种类型（域到共域）的函数，例如M → M。为什么操作⊗ 是定义中域的一部分？第二个困惑是关于I。为什么I 是一个域？ Monoid 中根本没有 I 对象。它只是对象M 的一个中性元素。

我知道Monoid 是一个类别，其中包含一个对象、一个恒等态射和一个在该对象上定义的二元运算，但是这种表示法让我觉得我不明白。

M ⊗ M 是否与笛卡尔积有某种关联，所以态射的域被定义为M x M？

编辑：我在Mathematics Stack Exchange 上的问题得到了非常有用的答案。

【问题讨论】：

你从集合论的角度了解什么是幺半群吗？定义只是是——除了“因为我们观察到有很多我们想要统一谈论的事情是这样的”之外，几乎没有可以给出“为什么是这样的定义”的答案”。所以我真的无法想象明智地回答这个问题。但我可以想象合理地回答“这个定义如何与集合论定义的各个部分相对应？”。
好的。由于您（现已删除）的评论说您了解集合论的定义，所以当我吃完午饭回来时，如果还没有答案，我会写下两个定义的部分如何对应的描述；以及与由定义引起的一个对象的类别的连接。
@daniel-wanger 是的，我理解集合论中的幺半群（至少是主要思想）。我什至对范畴论中的内容有一些“不稳定”的理解。我现在的主要问题（至少我认为这是主要问题）是我不明白如何阅读符号。是否有一种规则说在左侧（域）只能有对象？因为像I -> M 这样的定义对我来说看起来很奇怪。就像从对象I（不是对象）到M 的态射。或者M ⊗ M 是一种域名。但我真的很感激任何答案。
警告！工作中有不同但相关的概念！具有一个对象的类别对应于幺半群的传统概念（例如，您可以通过原地跳跃从您所在的位置到达您所在的位置的方式）。 monoidal category 的概念是另外一回事：它们可以拥有更有趣的对象集合，其中 (X) 和 I 诱导出类幺半群结构（Haskell 类型上的 (,) 方式是关联的并吸收() 直到同构）。
“monoidal category”这个词是必不可少的，这就是您要询问的这些运算符的来源。你似乎忽略了他们。

标签： haskell category-theory monoids

【解决方案1】：

M ⊗ M 与笛卡尔积有什么关系吗，所以态射的域定义为M x M？

没错。更具体地说，我们通过选择 Hask（所有 Haskell 类型作为对象，所有 Haskell 函数作为态射的类别）从 base 中获取由 Monoid 类表示的那些幺半群) 为 C，(,)（对类型构造函数）为 ⊗，()（单位类型）为 I。 μ 和 η 的签名，翻译成 Haskell，然后变成：

μ :: (M, M) -> M
η :: () -> M

通过柯里化 μ，并利用 () -> M 函数如何与 M 值一一对应（对于某些 m，它们都看起来像 \() -> m )，我们得到熟悉的Monoid 方法：

mappend :: M -> M -> M
mempty :: M

请注意，分类定义远比Monoid 更为笼统。例如，我们可能会继续在 Hask 中工作，同时将 (,) 和 () 替换为它们的对偶，Either 和 Void，从而得到：

μ :: Either A A -> A
η :: Void -> A

每个 Haskell 类型都是一个幺半群以这种特殊的方式（μ 是 either id id，η 是 absurd）。

另一个例子是把 C 作为 Haskell 的范畴Functors（它们之间有自然变换——我将写成type f ~> g = forall a. f a -> g a——作为态射），Compose作为⊗，Identity 作为我：

-- Note the arrows here are ~>, and not ->
μ :: Compose M M ~> M
η :: Identity ~> M

这两个通常写成：

-- "Inlining" the definitions of Compose, Identity, and ~>
join :: M (M a) -> M a
return :: a -> M a

换句话说，Monad 是 Functors 类别中的一个幺半群（这是 Hask 特定版本的“单子是内切子类中的一个幺半群” ）。值得一提的是，就像在另一个例子中一样，这不是将幺半群从该类别中剔除的唯一方法（有关指针，请参阅this answer 的最后一段——实际上，其余部分可能是相关阅读，因为它讨论了幺半群的概念）。

【讨论】：