可数性与图灵机停机的关系

Question

您好，我对可数性有疑问。为什么有必要找出某些事物是否可数。找到它有没有用？而且如果有些事情是不可数的，是否意味着没有图灵机来解决它？

Answer 1

我希望我不是通过回答你的问题来帮助你回答考试问题。

可数性和图灵机是同一枚硬币的两个方面。它们是确定问题是否“可计算”的互补方式。还有其他显示可计算性的等效方法（查找算盘机、可数函数、可计算函数等）。根据定义，如果您可以证明可以通过图灵机解决问题，那么您就可以证明该问题是可计算的。或者，如果您可以证明它具有来自可数无限集的解双射，则您可以证明该问题是可计算的。

顺便说一下，可数无限集是“小”无限集或集合ℵ₀。 （通俗地说，小无限或可数无限集是整数的集合。整数、奇数或偶数具有相同的基数——小无限集。无限集有无限的层次结构，从ℵ₀开始向上到ℵ_∞。整数集ℵ₀是最小的无限集。ℵ₁是ℵ₀的超集。R是实数集，与ℵ₁具有相同的基数，依此类推。 ) 了解无穷大的层次结构将帮助您了解需要证明什么来显示可计算性。

基本的图灵机有一个小的无限磁带。表明一个问题可以由图灵机计算意味着表明该问题有一个以无限小的时间和空间为界的解决方案。图灵机有一个磁带，它有无限的单元可以保存符号。任一方向都有无限单元（小无限），就像整数集在任一方向上都是无限的。与磁带相关的是一个读写头，它可以在磁带上向左或向右移动，并且可以在每次移动时读取或写入单个符号。显示将磁带上的磁头从初始状态移动到最终停止或终止状态的一系列指令是为了表明问题是“可计算的”。证明图灵机无法解决问题就是证明问题不可计算——无论我们是否给予可数无限的时间或资源。顺便说一句，时间和空间是互补的。如果您可以使用可数无限空间在有限时间内解决问题，或者使用可数（即小）无限时间使用有限空间解决问题，则表明该问题是可计算的。

Answer 2

对于图灵机以及许多其他数学和科学领域，可数性实际上非常重要。 A 由于图灵机必须按顺序执行操作，因此可以为每个步骤分配一个计数。如果这个过程永远持续下去，那么这个过程是可数无限的。

图灵机不适合的一个操作示例是将 1 和 2 之间的所有数字的平方相加。可以很容易地证明，这个区间中的整个有理数列表可以在一个可数列表，其中每个数字都可以与计数数一一对应。因此，在这个数字列表上一次执行一个步骤可以由图灵机执行。然而，这不能用这个区间的无理数来完成，因为它们太多了。可以证明（不太容易）无理数列表不能放入有序（可数）列表中。因此，区间上的每个数字都无法按顺序列出，这意味着即使给定无限的时间，图灵机也无法完成任务。

Countability of rationals

Uncountability if irrationals - Cantor Set

Answer 3

我可以给你一点答案（抱歉我只懂一点计算理论）。

图灵机只有无数个。因此，如果您有一组不可数的问题，您就知道该集合中至少有一个问题没有图灵机可以解决。

例如，如果你的问题是

对于某个函数 f:N -> N，编写一个程序，给定 n，计算 f(n)

您知道至少有一个f 无法给出这样的程序，因为这样的f 数不胜数。

不过，我不相信这种分析可以应用于停机问题，因为停机问题恰好包含 1 个问题：“给定图灵机的代码，决定是否给定空白磁带，它最终会停。”这只是一个具有可数许多可能输入的问题，因此，仅通过计数，它看起来就有可能解决。您必须以其他方式争论它无法解决。

当然，可数性和不可数性的重要性远比这个例子多样化。我希望其他人可以提供更多。