图灵机的停机到底是什么？

Question

我是可判定性的新手。我读了停止问题的停止问题，但没有得到任何它实际上暗示的东西。我已经把解释搞砸了。

谁能给我任何合理的解释或至少一些细节，这会很有帮助吗？

Answer 1

您可以将图灵机视为一种可以执行程序的理论计算机。图灵机的程序由一组状态和这些状态之间的转换组成。在图灵机上运行的程序可以访问单个输入源，称为磁带，它有一些程序可以处理的字符串（可能是空的）。图灵机的所有程序要么return true (halt-accept)，return false (halt-reject)，要么永远失败return 任何东西-while (true) ; return true;。根据您的定义，机器也可能出现throw 异常（崩溃）；但通常崩溃被认为是try { /*crash*/ } catch (Exception) { return false; } 之类的东西，因此崩溃意味着停止拒绝。

那么，停机问题是您是否可以为图灵机编写一个程序，该程序的输入是另一个图灵机程序和一些输入字符串，它返回true或false（halt-accepts或halt-rejects) 如果程序在所提供的输入上停止并返回false 否则（即，如果程序从不停止）。

事实证明，图灵机不存在这样的通用程序。假设确实存在一个，M。给定输入 m 和 i 它接受如果 m 在 i 上停止，否则拒绝。我们可以制作另一个专门用来愚弄M的程序：

N(i)
1. if M(N, i) then loop forever;
2. otherwise return true

现在继续M 是否适用于N：

1. 假设M 说N 在输入i 时停止。然后N 将永远循环，而M 将是错误的。

2. 假设M 说N 在输入i 上永远循环。然后N 将返回true 并停止，所以M 将是错误的。

在任何一种情况下，M 都为我们的N 提供了错误的答案，并且由于我们没有对M 做出任何假设，只是它存在并解决了停机问题，因此我们可以安全地得出结论，没有机器解决了停机问题。

（如果不希望直接引用M，M 可以作为输入传递给程序N）。