确定算法的运行时间答案

【问题标题】：Determining running time of algorithm确定算法的运行时间
【发布时间】：2014-11-15 00:31:42
【问题描述】：

我一直在尝试确定以下组合算法的渐近运行时间。

算法 Alg-1 和 Alg-2 都将其作为输入，并生成一个包含 n 个条目的数组。

Alg-1 是

ALG-1(A[1,...,n])
1: B= ALG-1(A[1,...,⎿n/2⏌])
2: C= ALG-2(A[⎿n/2⏌+1,...,n])
3: return ALG-2(B,C)

考虑到 ALG-2 的运行时间 f(n) 为 Θ(√n)，我想确定 ALG-1 的渐近运行时间。

我正在尝试建立算法的递归，然后通过主定理解决它，但我什至不知道如何开始。如果有人能帮我解决这个问题，我会很高兴。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

让T_k 表示在大小为n = 2^k 的输入上运行ALG-1 所需的时间。我将假设您的ALG-2(B, C) 表示ALG-2 在B 和C 的串联上运行，其长度为n。然后，看起来你有复发

T_k = T_{k - 1} + sqrt(n / 2) + sqrt(n) = T_{k - 1} + C * sqrt(2^k),

其中C 是一个常数。如果你通过将T_{k - 1} 写成T_{k - 2} 等来继续扩展它，你会得到

T_k = C * sqrt(2^k) + C * sqrt(2^{k - 1}) + C * sqrt(2^{k - 2}) + ...

这是一个几何级数，因此总和与前导项的顺序相同（基本上，第一项大约与所有其余项的总和一样大）。所以T_k 的顺序是sqrt(2^k) 或sqrt(n)。

【讨论】：

感谢您的回答，但现在我有点困惑。我在想递归看起来像 T(n)= 2(n/2)+ n，因为我们将数组分成两个子数组，并且我们遍历所有 n 个元素 1 次。你是怎么得到 (k-1) 的？
您提出了一个很好的观点，即当您将数据传递给 ALG-2 时，即使算法本身只需要 O(sqrt(n)) 时间（例如考虑像二进制搜索这样的东西，它只需要 O(log n) 时间在大小为 n 的输入上）。然而，这通常可以通过引用传递数据来避免，即只传递一个指针而不是复制整个数组。