Kruskal 算法的运行时间

Question

克鲁斯卡尔算法如下：

MST-KRUSKAL(G,w)
1. A={}
2. for each vertex v∈ G.V
3.      MAKE-SET(v)
4. sort the edges of G.E into nondecreasing order by weight w
5. for each edge (u,v) ∈ G.E, taken in nondecreasing order by weight w
6.      if FIND-SET(u)!=FIND-SET(v)   
7.         A=A U {(u,v)}  
8.         Union(u,v)
9. return A

根据我的教科书：

在第 1 行初始化集合 A 需要 O(1) 时间，排序的时间 第 4 行的边是 O(E lgE)。第 5-8 行的 for 循环执行 O(E) 在不相交集森林上的 FIND-SET 和 UNION 操作。沿着 与 |V| MAKE-SET 操作，这些操作总共需要 O((V+E)α(V)) 时间，其中 α 是一个增长非常缓慢的函数。因为我们假设 G 是连通的，我们有 |E|

你能解释一下为什么我们推断出在第 4 行对边进行排序的时间是 O(E lgE) 吗？ 另外，我们如何得到总时间复杂度为 O((V+E)α(V)) ？

另外，假设图中所有边的权重都是从 1 到 |V| 的整数。你能让 Kruskal 的算法运行多快？如果对于某个常数 W，边权重是 1 到 W 范围内的整数怎么办？

时间复杂度如何取决于边的权重？

编辑：

另外，假设图中所有边的权重都是整数 从 1 到 |V|。你能让 Kruskal 的算法运行多快？

我想到了以下几点：

为了让 Kruskal 算法运行得更快，我们可以应用计数排序对边进行排序。

• 第 1 行需要 O(1) 时间。
• 第 2-3 行需要 O(v) 时间。
• 第 4 行需要 O(|V|+|E|) 时间。
• 第 5-8 行需要 O(|E|α(|V|)) 时间。
• 第 9 行需要 O(1) 时间。

所以如果我们使用计数排序来解决边缘，Kruskal 的时间复杂度将是

你能告诉我我的想法是否正确吗？

还有：

如果边权重是 1 到 W 范围内的整数 某个常数 W？

我们将再次使用计数排序。算法将是相同的。我们发现时间复杂度如下：

• 第 1 行需要 O(1) 时间。
• 第 2-3 行需要 O(|V|) 时间。
• 第 4 行需要 O(W+|E|)=O(W)+O(|E|)=O(1)+O(|E|)=O(|E|) 时间。
• 第 5-8 行需要 O(|E|α(|V|)) 时间。
• 第 9 行需要 O(1) 时间。

所以时间复杂度为：

Answer 1

你能解释一下为什么我们推断出在第 4 行对边进行排序的时间是 O(E*lgE)？

为了对一组 N 个项目进行排序，我们使用 O(Nlg(N)) 算法，即快速排序、归并排序或堆排序。因此，为了对 E 条边进行排序，我们需要 O(Elg(E)) 时间。然而，在某些情况下这不是必需的，因为我们可以使用更复杂的排序算法（进一步阅读）。

另外我们如何得到总时间复杂度为 O((V+E)α(V))？

我不认为总复杂度是 O((V+E)α(V))。那将是 5-8 循环的复杂性。 O((V+E)α(V)) 复杂度来自 V MAKE-SET 操作和 E Union 操作。要了解为什么我们将它与 α(V) 相乘，您需要深入阅读一些算法书籍中对不相交集数据结构的分析。

你能让克鲁斯卡尔算法运行多快？

对于第一部分，第 4 行，我们有 O(E*lg(E)) 复杂度，对于第二部分，第 5-8 行，我们有 O((E+V)α(V)) 复杂度.这两者相加产生 O(Elg(E)) 复杂度。如果我们使用 O(N*lg(N)) 排序，这将无法改进。

如果边权重是 1 到 W 范围内的整数 某个常数 W？

如果是这样，那么我们可以对第一部分使用计数排序。给出 O(E+W) = O(E) 的第 4 行复杂度。在这种情况下，算法将具有 O((E+V)*α(V)) 总复杂度。但请注意，实际上 O(E + W) 包含一个可能相当大的常数，对于较大的 W 可能不切实际。

时间复杂度如何取决于边的权重？

如前所述，如果边的权重足够小，我们可以使用计数排序并加快算法速度。

编辑：

另外，假设图中所有边的权重都是整数 从 1 到 |V|。你能让 Kruskal 的算法运行多快？我有 想到以下：

为了使 Kruskal 算法运行得更快，我们可以对边进行排序 应用计数排序。

第 1 行需要 O(1) 时间。第 2-3 行需要 O(vα(|V|)) 时间。 第 4 行需要 O(|V|+|E|) 时间。第 5-8 行要求 O(|E|α(|V|)) 时间。第 9 行需要 O(1) 时间。

您的想法是正确的，但是您可以缩小界限。

第 2-3 行需要 O(|V|) 而不是 O(|V|α(|V|))。然而，我们在之前的计算中将其简化为 O(|V|α(|V|)) 以使计算更容易。

这样，您可以获得以下时间： O(1) + O(|V|) + O(|V| + |E|) + O(|E|α(|V|)) + O(1) = O(|V| + |E| ) + O(|E|α(|V|))

您可以将其简化为 O((|V| + |E|) * α(|V|) 或 O(|V| + |E|*α(|V|)。

所以虽然你是对的，因为 O((|V| + |E|) * α(|V|)

|W| 的计算是类似的。