给定图中的旧最小生成树，是否有 O(|V|) 算法用于将新节点添加到最小生成树？答案

【问题标题】：Is there an O(|V|) algorithm for adding a new node to a minimum spanning tree, given the old minimum spanning tree from a graph?给定图中的旧最小生成树，是否有 O(|V|) 算法用于将新节点添加到最小生成树？
【发布时间】：2017-10-08 15:15:17
【问题描述】：

我知道使用 DFS 可以在 O(|V| + |E|) 内更新它，但是否可以在 O(|V|) 内更新？

编辑：如果这不可能，O(|V| + |E|) 算法究竟如何工作？

【问题讨论】：

标签： algorithm graph tree

【解决方案1】：

更新图的最小生成树（MST）不限于将新顶点连接到现有 MST。还应该验证初始 MST 中使用的边仍然是连接所有顶点的最便宜的方法。在某些情况下，v_k 可能是这样一个节点，它可以彻底检查图 G 的整个现有 MST。新的顶点和随之而来的边可能会形成一种更便宜的方式来连接图 G图的顶点，因此，初始 MST 中的一些（或所有）边可能会变得不是最便宜的。

可以很容易地构建一个这样的案例。考虑初始图 G=(V={1,2,3}, E={(1, 2), (2, 3), (1, 3)})，其中每条边的权重为 100。然后引入一个顶点 4，以及从 4 到其他顶点的边，每个顶点的权重为 1。G 的初始 MST 将具有 E 的任意两个元素，但在添加新节点后，MST 将完全由不同的边缘。

也许一个聪明的数据结构可能会产生比 O(|E|) 更好的时间复杂度，但需要检查每个边的有效性（即它们是否仍然是连接所有顶点的最便宜的方法）初始 MST 以及新添加的边意味着时间复杂度取决于 |E| 的大小。一个有效的想法是，初始 MST 可以提供有用的信息，可以帮助扩展它以覆盖具有较低时间复杂度的新顶点。但是，MST 的定义在很大程度上依赖于图本身，更新图可能使所有初始 MST 失效，从而使其指示的有关图的信息变得无用。因此，虽然我没有在这里准确地提供数学证明，但我认为当一个新节点（和它的边）添加到图中时，没有 O(|V|) 算法来更新 MST。

【讨论】：