使用最小生成树算法答案

【问题标题】：Using a minimum spanning tree algorithm使用最小生成树算法
【发布时间】：2011-11-17 01:43:59
【问题描述】：

假设我有一个加权无向图 G = (V,E)。每个顶点都有一个元素列表。

我们从一个顶点 root 开始，并开始寻找所有出现的具有 x 值的元素。我们希望通过最少的距离（就边权重而言）来发现所有出现的具有 x 值的元素。

按照我的想法，一个 MST 将包含所有顶点（以及因此满足我们条件的所有顶点）。因此，揭示所有事件的算法可以通过找到从 root 到所有其他顶点的最短路径来完成（当然这将在 MST 上完成）。

编辑：正如 Louis 指出的那样，MST 并非在所有情况下都有效如果根是任意选择的。但是，为了清楚起见，根是输入的一部分，因此可能只有一个 MST（假设边缘具有不同的权重）。这棵生成树实际上将具有从根开始到图中所有其他顶点的所有最小成本路径。

【问题讨论】：

“旅行”到底是什么意思？您是否在寻找单一路径？
The Steiner tree problem in graphs 可能是相关的。
@Per：我看不出这种复杂技术的相关性。你能详细说明一下吗？
@chac 连接所有标记为 x 的节点的最小成本子图。
@Per：我明白了。你的意思是额外的中间顶点和边都是没有标记x的顶点。好的。

标签： algorithm minimum-spanning-tree

【解决方案1】：

我认为这行不通。考虑以下示例：

 x
 |
 3
 |
 y--3--root
 |     /
 5    3
 |   /
 |  /
  x

最小生成树包含权重为 3 的所有三个边，但这显然不是最佳解决方案。

如果我正确理解了这个问题，您想在图中找到包含所有标记为 x 的顶点的最小权重树。（也就是说，正确答案的总权重为 8，并且是该图中垂直绘制的两条边。）但这根本不包括您任意选择的根。

我非常有信心 Prim 算法的以下变体会起作用。不过，不确定它是否是最佳的。

假设我们要查找的标签名为 L。

使用全对最短路径算法计算所有 v、w 的 d(v、w)。
选择一些标记为 L 的节点；称之为根。（我们可以确定这将在结果树中，因为我们包括所有标记为 L 的节点。）
初始化优先级队列，将根初始化为 0。（优先级队列将包含标记为 L 的顶点，以及它们与树中任何节点的最小距离，包括未标记为 L 的顶点。）
当优先级队列非空时，请执行以下操作：
1. 挑选出队列中最上面的顶点；称它为 v，它与树的距离为 d。
2. 对于从 v 到树（包括 v）的路径上的每个顶点 w，找到离 w 最近的 L 标记节点 x，并将 x 添加到优先级队列中，或更新其优先级。将 w 添加到树中。

【讨论】：

我不确定我是否正确理解了这个问题，但在我看来，根不是任意选择的，但它是输入的一部分并且它已经在结果中。
我认为 MST 它是您的示例中的解决方案

【解决方案2】：

如果我理解正确的话，答案是否。找到最小生成树将包含所有个顶点 V，但您只想找到值为 x 的顶点。因此，您的 MST 结果可能包含不需要的顶点，增加了额外的路径长度，因此不是最佳的。

【讨论】：

【解决方案3】：

给出了一个示例，其中来自 Root 的 MST M1 不同于包含所有 x 个节点但不包含 Root 的 MST M2。

这是一个 Root 在两个 MST 中的示例：让图 G 包含节点 R、S、T、U、V（R=Root）和顺时针路径 R-S-T-U-V-R，边权重为 1、1、3、2， 2 顺时针方向，x 在 R、S、T、U 处。第一个 MST M1 将在 R 下方有子树 S-T 和 V-U，成本为 6 = 2+4，边缘成本为 3 T-U 不包含在 M1 中。但是 M2 在 R 之下有子树 S-T-U（仅），成本为 5。

【讨论】：

【解决方案4】：

否定的。如果想法是为每个包含“x”的节点找到从根到它的单独路径，并最小化路径的总成本，那么您可以单独使用简单的最短路径计算每个节点都从根开始，把路径放在一起。

其中一些最短路径不会位于最小生成树中，因此如果这是您的目标，则 MST 解决方案不起作用。 MST 优化树的成本，而不是从根到节点的路径成本总和。

如果您的想法是找到一个从根开始并遍历所有包含“x”的节点的路径，那么这就是旅行商问题 这是一个 NP 完全优化问题，即非常困难。

【讨论】：