找到可以从网格中收集的最大数量的黄金答案

【问题标题】：Find maximum amount of gold that can can be collected from a grid找到可以从网格中收集的最大数量的黄金
【发布时间】：2015-09-23 19:37:45
【问题描述】：

给定一个 m*n 大小的网格。网格中的每个块都有一定数量的黄金。

我们从网格的第一列（任何行）开始，我们只能在 3 个方向上移动 - 右、右上（左对角线）和右下（右对角线）。

我们可以从网格中收集的最大黄金数量是多少。

我尝试过使用具有以下递归关系的动态编程

dp[i][j]=max{a[i-1][j+1],a[i][j+1],a[i+1][j+1]} +a[ i][j] 对于 j= 0 到 n-1 并且 dp[i][j]=0 表示 i=m

这会给出正确和最佳的答案吗？

【问题讨论】：

标签： algorithm recursion dynamic-programming

【解决方案1】：

让

d[i][j]

是从位置(i,j)开始，只向右、向上和向下移动，对于任何i in [0..m-1]，j in [0..n-1]，可以获得的最大金币数量。我们得到以下递归关系，从某种意义上说，访问[0..m-1] 和[0..n-1] 之外的坐标意味着返回0。

d[i][j] = a[i][j] + max { d[i  ][j+1], // right
                          d[i-1][j+1], // right up
                          d[i+1][j+1]  // right down
                        }

这里的问题是使用一个求值序列，其中出现在max 表达式中的每个所需的d 值都可用于d[i][j] 的求值。通过为每个i in [0..m-1]. 设置d[i][n-1] = a[i][n-1]，评估顺序必须从最右边的列开始。状态必须从右到左按列填充；经评估，最优金量为最左列出现的最大值。

【讨论】：

如果其中两个移动是右上和右下，我希望在某处看到一个减号。
为什么不能从右上角开始，或者最右边一列的任何地方？
@ScottHunter 你可以；我的解释完全是误导性的，我希望它现在已经修复了，
因为您可以从任何行开始，所以最佳可能不会在d[0][0]。