形成字符串的最小路径答案

【问题标题】：Minimal path to form a string形成字符串的最小路径
【发布时间】：2018-04-14 10:20:23
【问题描述】：

给定一个由符号S 组成的矩阵N x M 和一个给定的符号序列，找出以给定顺序遍历所有符号的最小路径。允许的路线是UP, DOWN, LEFT, RIGHT。

例子：

Matrix:
   123
   265
   346
Sequence:
   1234561
Output:
   8 (start from top left corner, then D, D, R, R, U, L, U, L)

请注意，符号可以重复，因此图形算法在这里没有用处。 实际路径无关，只有数字，因此动态规划可能是要走的路。

形式上：给定的符号序列必须是路径的子序列。

我正在寻找一种能找到上述最短路径长度的算法。

【问题讨论】：

能否请您在帖子末尾添加一个问题，因为不清楚您在寻找什么。
@Pontios 已澄清。感谢您指出这一点。
我不确定我是否理解您的问题。您在寻找回溯吗？

标签： algorithm dynamic-programming theory

【解决方案1】：

动态规划状态可以是(row, col, pos)：棋盘上的两个坐标和我们构建的序列中的位置。

函数f (row, col, pos)是达到这种状态的最小总距离。

显然，当matrix[row][col]不等于sequence[pos]时，状态无效。我们将通过f (row, col, pos) = infinity对其进行编码。

f (row, col, 1) = 0 的基数为 matrix[row][col] = sequence[1]。

外部循环遍历状态的pos 部分。要在matrix[row][col] 等于sequence[pos] 的情况下找到f (row, col, pos)，我们要观察所有状态(row', col', pos - 1) 并取最小值f (row', col', pos - 1) 加上(row', col') 到(row, col) 的距离。这个距离就是|row - row'| + |col - col'|。

答案是f (row, col, n) 的最小值，其中n 是序列的长度。

希望你能从这里拿走它。

即使实际路径是相关的，这种方法也会有所帮助。为了找到实际路径，我们可以将先前的状态与函数值一起存储。换句话说，f (row, col, pos) 可以是三元组：实际答案、先前状态的 row'、先前状态的 col'。

【讨论】：

你能澄清一下outer loop吗？我当时迷路了，因为我真的不知道你指的是什么。
@PalJereh 我将解决方案构造为：for pos = 2, 3, ..., n:、for row = 1, 2, ..., rows:、for col = 1, 2, ..., cols:、calculate f (row, col, pos)。但是带有记忆的递归解决方案也可以。
你提到的无穷大不应该是积极的吗？
@Gassa 我现在有点迷路了。带有记忆的递归解决方案不需要NxMxInputLength空间吗？以及计算例如 f(2, 2, 3)（例如上面）如何帮助找到解决方案（因为结果不会改变程序的其他变量/部分）。
@PalJereh 在这两种情况下，复杂度都是rows * cols * n 内存和rows^2 * cols^2 * n 时间。至于计算不需要的值，循环解决方案确实会访问一些这样的状态。如果这困扰你，有递归解决方案。通常，通过递归实现动态编程具有更高的常数因子，但访问的状态更少。哪个更强取决于问题。

【解决方案2】：

当在字符s[i] 的矩阵中使用jth 实例时，让f(i, j) 表示达到序列前缀s 的最小距离，最大长度为i。那么：

f(i, j) = min(d(c, j') + f(i - 1, j'))

for all j'

where d is the distance function
      c is the jth instance of the character s[i]
      j' is an instance of the character s[i - 1]

此解决方案的最大复杂度为O(n * (r * c) * (r * c))，因为序列中有n 个字符，每个字符最多有r * c 个实例。但对于序列中每个字符在矩阵中的实例数相对较少的输入，效率可能会显着提高。

【讨论】：

这里，n * r * c 是状态数，但时间复杂度是n * r * c * r * c，因为j 和j' 的选择可能是r * c。一个例子是B 和W 方格的棋盘矩阵，以及BWBWBWBWBW...BW 序列。一个更极端的例子是字母表只包含一个字符。