如何使用DP求解“最长相似子序列”

Question

我已阅读 LCS 问题的解决方案。但是现在有一个最长相似子序列问题：序列C是两个序列A，B的相似子序列当且仅当C是A的子序列并且我们最多可以替换C中的K个元素使得C是B的子序列.

例如，如果A = "ABCDE", B = "BCAFE", K = 1，那么最长相似子序列是"BCDE"（"BCDE是"ABCDE"的子序列，我们可以替换'D'使用 'A' 或 'F' 使其成为“BCAFE”的子序列）。

我的问题是我只是想出了一个递归的方法来解决它，但是显然这很耗时，所以我想用 DP 代替。知道如何使用 DP 来解决这个问题吗？

我的递归方法是这样的：

LSS(i, j, k)
    if(i == 0 or j == 0)
        return 0
    if(A[i] == B[j])
        return LSS(i-1, j-1, k) + 1
    if(k > 0)
        return max(LSS(i-1, j-1, k-1) + 1, LSS(i-1, j, k), LSS(i, j-1, k))
    else
        return max(LSS(i-1, j, k), LSS(i, j-1, k))

Answer 1

DP 就是理解最优子问题，然后将其用于获得其他解决方案。没有所有这些细节，我们可以简单地使用自动出现的想法。

我们在这里所做的只是一遍又一遍地计算相同的解决方案。这就是解决方案更耗时的原因。你能做的就是记住解决方案。

所以在这种情况下，用 -1 初始化 sol。然后在获得 LSS(i,j,k) 的解决方案之前，您可以检查是否已经计算了 sol[i][j][k]。如果是，那么就使用它，否则解决解决方案并将其放入sol。标准记忆。