Reed-Solomon 纠错码的 Schifra 库中生成多项式索引的理想值是多少？答案

【问题标题】：What is the value of the ideal value of the generator polynomial index in the Schifra library for Reed-Solomon error correcting code?Reed-Solomon 纠错码的 Schifra 库中生成多项式索引的理想值是多少？
【发布时间】：2019-08-29 08:41:55
【问题描述】：

我正在尝试在项目中使用Schifra Reed-Solomon error correcting code library。我没有关于 Reed-Solomon 代码和 Galois 场如何工作的背景。我无法确定 16 位符号（字段描述符）的 generator_polynomial_index 的理想值。

我的代码适用于索引 0 和许多其他索引。我已经尝试了所有索引值。该代码适用于很多人（准确地说是 0-32724 和 32779-65485），但是

问题

什么是最理想的值？
如果我切换到另一个索引值会有什么变化（这也有效但不理想）？

我的其他发现：

field_descriptor = 符号大小（位/符号）
code_length(符号总数(数据符号+纠错码符号)) = 2^symbol_size - 1（库只支持这个码长值）
generator_polynomial_root_count = fec_length（冗余或纠错符号数）
错误以符号而不是位来衡量，即特定符号中的 1 个不正确位被计为 1 个错误。但即使所有 16 位都不正确；它将计为 1 个错误（不是 16 个）。
可以纠正的最大错误和擦除数应遵循以下不等式：2*num_errors + num_erasures

如有错误请指正

const std::size_t field_descriptor                =   16;
const std::size_t generator_polynomial_index      =  index;
const std::size_t generator_polynomial_root_count = 50;

/* Reed Solomon Code Parameters */
const std::size_t code_length = 65535;
const std::size_t fec_length  =  50;
const std::size_t data_length = code_length - fec_length;

/* Instantiate Finite Field and Generator Polynomials */
const schifra::galois::field field(field_descriptor,
schifra::galois::primitive_polynomial_size14, schifra::galois::primitive_polynomial14);

【问题讨论】：

标签： c++ error-correction reed-solomon

【解决方案1】：

generator_polynomial_index 的理想值是多少

可能没有“理想”值。

我不得不查看 github 代码以确定生成器字段索引是生成器多项式的第一个连续根的对数。

https://github.com/ArashPartow/schifra/blob/master/schifra_sequential_root_generator_polynomial_creator.hpp

通常索引为 0（第一个连续根 == 1）或 1（第一个连续根 == Alpha（字段原语））。选择 index = 1 用于“狭义”代码。它稍微简化了 Forney 算法。链接到 wiki 文章，其中“c”表示第一个连续根的日志（它将根列为 a^c、a^(c+1)、...）：

https://en.wikipedia.org/wiki/Forney_algorithm

为什么要使用狭义代码：

https://math.stackexchange.com/questions/2174159/why-should-a-reed-solomon-code-be-a-narrow-sense-bch-code

对于硬件，可以通过使用自互反生成多项式来减少唯一系数的数量，其中选择第一个连续根，以便生成多项式的形式为：1 x^n + a x^(n- 1) + b x^(n-2) + ... + b x^2 + a x + 1。对于 GF(2^16) 中的 32 个根，第一个连续根是 alpha^((65536-32)/2) = alpha^32752，最后一个连续的根是 alpha^32783。请注意，这仅适用于二进制字段 GF(2^n)，而不适用于非二进制字段，例如 GF(929)（929 是质数）。该问题显示了不包括 32752 的索引范围；如果 32752 不适用于这个库，那是由于库中的一些限制，而不是 Reed Solomon 纠错算法。

除了这 3 种情况，索引 = 0、1 或自互反生成多项式之外，我不知道有任何理由选择不同的索引。索引的选择不太可能对超出正常限制的解码产生任何影响。

可以纠正的最大错误和擦除数应遵循以下不等式：2*num_errors + num_erasures

应该是这样的

2*num_errors + num_erasures <= fec_length

【讨论】：