无向加权图使用 BFS 的单源最短路径

Question

我试图想出一个解决方案，使用 BFS 为无向加权图找到单源最短路径算法。

我想出了一个解决方案，将每个边权重比如 x 转换为顶点之间的 x 边，每个新边的权重为 1，然后运行 ​​BFS。我会得到一棵新的 BFS 树，因为它是一棵树，所以从根节点到每个其他顶点只存在 1 条路径。

我遇到的问题是试图对以下算法进行分析。每条边需要被访问一次，然后根据其权重分割成相应数量的边。然后我们需要找到新图的 BFS。

访问每条边的成本是 O(m)，其中 m 是边数，因为每条边都被访问一次以分割它。假设新图有 km 边（比如 m'）。 BFS 的时间复杂度为 O (n + m') = O(n + km) = O(n + m) 即时间复杂度保持不变。 给定的证明正确吗？

我知道我可以在这里使用 Dijkstra 算法，但我对分析这种基于 BFS 的算法特别感兴趣。

Answer 1

您在此处包含的分析很接近但不正确。如果您假设每条边的成本最多为 k，那么您的新图将具有 O(kn) 个节点（每条边添加额外的节点）和 O(km) 个边，因此运行时间将为 O(kn + km) .但是，您不能在这里假设 k 是常数。毕竟，如果我增加边缘的权重，我确实会增加代码运行所需的时间。所以总的来说，你可以给出 O(kn + km) 的运行时间。

请注意，此处的 k 是运行时的单独参数，与 m 和 n 相同。这是有道理的——更大的权重会给你更大的运行时间。

（请注意，这不被视为多项式时间算法。而是pseudopolynomial-time algorithm，因为写出权重 k 所需的位数为 O(log k)。）