绘制带有求和的概率曲线

Question

我有以下问题：

我正在研究一个公式来计算一些网络效应。这个想法是我有 450 个“红色用户”和 6550 个“蓝色用户”，总共有 7000 个用户。现在我想绘制“选择 x 个用户（同一用户不能被选择两次，所以这是无替换抽样）并计算至少 1 个用户是红色的概率”。

例如，对于 x = 3，这意味着我从 7000 个随机用户中挑选 3 个并检查其中是否有任何“红色用户”

至少有 1 个红色用户的概率是 p = 1 - 所有 3 个选择都是蓝色用户的概率，蓝色用户的概率等于 p = 6550/7000，对吧？

导致至少 1 个红色用户的概率： * p = 1 - 6550/7000 * 6549/6999 * 6548/6998 *

因此我想出了公式：

f(x) = e^-(1- sum of (6500-i)/(7000-i)); for i = 0, till x)

我意识到曲线非常前卫，因为它只是从 ℕ 中的一个值到 ℕ 中的下一个值。 尽管添加十进制数字没有多大意义，因为“选择 0,5 个用户甚至 0,01 个用户”只是愚蠢的，但我希望看到完整的图表以便能够将公式与其他公式进行比较。

有什么方法可以在 python 中实现吗？

最好的问候，

科尔比

Answer 1

您正在寻找的东西之前已经被广泛研究过，在概率论和统计学中被称为hypergeometric distribution。因此无需重新发明轮子！

我们正在寻找至少一个红色用户，样本大小不一x。这等价于1 - Pr(0 red users | sample size = x)，即减去它的补码。

让我们通过考虑[1, # red users] 中的样本大小来说明这一点。一些 Python 代码可以帮助您，

from scipy.stats import hypergeom
import matplotlib.pyplot as plt

red = 450
total = 7000

sample_sizes = list(range(1, red + 1))

probabilities = [1 - hypergeom(total, red, sample_size).pmf(0)
                 for sample_size in sample_sizes]

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(sample_sizes, probabilities, 'bo')

ax.set_xlabel('Users drawn (#)')
ax.set_ylabel('Probability of at least one red user')
plt.show()

这会产生以下图表，

显然，随着我们增加样本大小，至少绘制一个红色用户的概率会迅速增加 - 鉴于我们对超几何分布的了解，这不是我们没有预料到的！

Answer 2

在您的公式中，它不是乘积而不是总和吗？无论如何，我最初的想法是使用泊松分布，但这行不通，因为它没有替换。问题是阶乘函数只为整数定义，所以你需要使用 gamma 函数。