嵌套循环的复杂性比率 1/2 [重复]答案

【问题标题】：complexity for nested loops ratio 1/2 [duplicate]嵌套循环的复杂性比率 1/2 [重复]
【发布时间】：2013-06-02 22:40:41
【问题描述】：

我正在尝试使用大 O 表示法来计算 for 循环的复杂性。我以前在其他课程中也这样做过，但是这个比其他的更严格，因为它是在实际算法上的。代码如下：

for(i=n ; i>1 ; i/=2) //for any size n
{
    for(j = 1; j < i; j++)
    {
      x+=a
    }
}

指令 x+=a 总共执行了 n + n/2 + n/4 + ... + 1 次。

G.P. 的第一个 log2n 项的总和。起始项 n 和共同比率 1/2 为 (n (1-(1/2)log2n))/(1/2)。因此第一个代码片段的复杂度是 O(n)。

正确吗？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

是的，你是对的。但是，您不需要为此使用对数，因为：

n + n/2 + n/4 + ... + 1 = 2*n - 1

（这个等式对于 n 是 2 的幂是精确的，对于非 2 的幂则略微偏离）

更新：证明。

让我们调用我们的总和x：

x = n + n/2 + n/4 + ... + 1

另外，为简单起见，假设 n 是 2 的幂，因此所有成员都可以被 2 的幂整除而没有余数。

如果你将x 乘以2，你会看到一些非常有趣的东西：

2*x = 2*n + 2*(n/2) + 2*(n/4) + ... + 2

或者，您可以将其重写为：

2*x = 2*n + x - 1

可以简化为：

x = 2*n - 1

【讨论】：