计算大 O 表示法：2 个嵌套循环的 O(n^4) 和没有递归的 O(log n)

Question

我已经有一段时间没有做一些运行时复杂度近似练习了，我一直在尝试围绕网上找到的以下示例（cmets 是我自己的）：： p>

示例 1：

for ( int i = 1 ; i <= n ; i++) { //n
  for ( int j = 1; j <= i*i ; j++) { // 1+2^2+3^2+...+n^2
    if ( j % i == 0) {
      for ( int k = 0 ; k < j ; k++ ){ // 1+2^2+3^2+...+n^2
        sum++;
       }
      }
     }
    }

解决方案表说它是 O(n^4)，但我看不到。我确定我错过了一些东西，因为在我的 cmets 中，我计算出在最坏的情况下它是 O(n^5)。

示例 2：

i = 1 ;
L2 = -1;
while ( i <= n ) {
  i = i*2 ; // 2 + 2^2 + 2^3+ ...+ 2^n
  L2++;
}

提到的解决方案是 O(log n)。我认为在最坏的情况下，我会得到 2^n

我基本上想知道我错过了什么，以及我应该经历哪些步骤/指南才能为这两种情况（尤其是第一个示例）找到正确的大 O 复杂度。 对于任何不清楚的细节，我深表歉意，我很高兴添加更多说明。 提前致谢，感谢任何见解！

Answer 1

示例 1 是 O(n^5)，因为 big-O 是一个上限。也是Theta(n^4)，因为if语句使得最里面的循环只在每i迭代一次运行，所以运行时间是Theta(n sum_{i=1}^n (i*i * 1/i * i*i)) = Theta(n^4)。

示例 2 是 O(log n)。在jth 迭代中，i 为2^j，2^j > n 的阈值为j > lg n。