使用 Dijkstra 找到最小生成树？答案

【问题标题】：Use Dijkstra's to find a Minimum Spanning Tree?使用 Dijkstra 找到最小生成树？
【发布时间】：2009-12-15 18:08:47
【问题描述】：

Dijkstra's 通常用于查找图中两个节点之间的最短距离。可以用它找到最小的spanning tree吗？如果有，怎么做？

编辑：这不是家庭作业，但我正在尝试理解旧练习考试中的一个问题。

【问题讨论】：

你使用 Greedy 来查找 MST。对于最短路径，您使用最优性原理（最优子结构），动态规划。在 DP 中，您会发现图表自下而上，并且每个阶段都是最优的。对于贪心，你只需选择一个贪心标准，你就会找到 MST。如果你了解 Greedy 和 DP，你真的能感受到其中的不同。 MST 不应包含 Cycle。最短路径可以包含循环。尝试了解如何找到它们的基本理论，您将更好地理解差异。最短路径是 NP 完备的，而 MST 不是。如果您可以使用 MST 来解决最短路径。那么 P=NP。
此评论不正确，因为最短路径肯定不是 NP 完整的。证明是 Dijkstra 的算法是多项式的。不要使用严格的 Dijkstra 算法和基于到一个节点的距离的优先级队列，而是使用基于边权重的优先级队列。在每一步添加权重最小且不创建循环的边界边。

标签： algorithm language-agnostic graph-theory dijkstra minimum-spanning-tree

【解决方案1】：

答案是否定的。要了解原因，让我们先这样表述问题：

问：对于只有非负边权重的连通无向加权图`G = (V, E, w)`，Dijkstra 算法生成的前驱子图是否形成 G 的最小生成树？

（请注意，无向图是一类特殊的有向图，因此在无向图上使用 Dijkstra 算法是完全可以的。此外，MST 仅用于连接的无向图，并且如果图没有加权，则它是微不足道的，所以我们必须将我们的查询限制在这些图表上。）

答：Dijkstra 算法在每一步都贪婪地选择最接近某个 源顶点 s 的下一条边。它这样做直到 s 连接到图中的每个其他顶点。很明显，生成的前驱子图是G的生成树，但是边权重之和最小化了吗？

Prim 算法，已知会产生最小生成树，与 Dijkstra 算法高度相似，但在每个阶段它都会贪婪地选择最接近 当前任何顶点的下一条边在那个阶段的工作 MST 中。让我们用这个观察来产生一个反例。

反例：考虑无向图G = (V, E, w) where

V = { a, b, c, d }

E = { (a,b), (a,c), (a,d), (b,d), (c,d) }

w = { ( (a,b) , 5 ) ( (a,c) , 5 ) ( (a,d) , 5 ) ( (b,d) , 1 ) ( (c,d) , 1 ) }

以a为源顶点。

Dijkstra 算法取得优势{ (a,b), (a,c), (a,d) }。
因此，这棵生成树的总权重为5 + 5 + 5 = 15。

Prim 的算法占据优势 { (a,d), (b,d), (c,d) }。
因此，这棵生成树的总权重为5 + 1 + 1 = 7。

【讨论】：

这是一个绝妙的反例。来自d vertex 的 Dijkstra 仍会产生 MST。
这一定是我在 Stack Overflow 上看到的更好的答案之一！用简单的例子清楚地解释一个复杂的问题。
很好的例子。因此，可以得出结论，在 Djikstra 中，我们倾向于找到一条生成树的路径，它可以最大限度地减少从源到每个其他目的地的成本，而 MST 只是倾向于使权重的总和最小，它并不关心使每个源到每个其他节点的权重最小

【解决方案2】：

严格来说，答案是否定的。 Dijkstra 算法在图上找到 2 个顶点之间的最短路径。但是，对算法进行非常小的更改会生成另一种算法，该算法确实可以有效地生成 MST。

The Algorithm Design Manual 是我找到的最能回答此类问题的书。

【讨论】：

【解决方案3】：

Prim's algorithm 使用与 Dijkstra 算法相同的基本原理。

【讨论】：

优秀。简洁而优雅。

【解决方案4】：

我会坚持使用 Prim 或 Kruskal 等贪婪算法。我担心 Djikstra 不会这样做，仅仅是因为它最小化了节点对之间的成本，而不是整个树。

【讨论】：

【解决方案5】：

当然，可以使用 Dijkstra 作为最小生成树：

dijsktra(s):
dist[s] = 0;
while (some vertices are unmarked) {
    v = unmarked vertex with 
    smallest dist;
    Mark v; // v leaves “table”
    for (each w adj to v) {
        dist[w] = min[ dist[w], dist[v] + c(v,w) ];
    }
}

这是一个使用 Dijkstra 生成树的示例：

您可以在《算法基础》一书第 4 章第 2 节中找到进一步的解释。

希望有帮助

【讨论】：

这包含实现的伪代码。请添加解释。
树 (v1, v5), (v5, v4), (v1, v3), (v3, v2) 是不是比图片中显示的更小？

问：对于只有非负边权重的连通无向加权图G = (V, E, w)，Dijkstra 算法生成的前驱子图是否形成 G 的最小生成树？

问：对于只有非负边权重的连通无向加权图`G = (V, E, w)`，Dijkstra 算法生成的前驱子图是否形成 G 的最小生成树？