我对斐波那契时间复杂度的解决方案感到困惑

Question

long fib(int n)
{
    if (n <= 1)
        return 1;
    else
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

虽然我见过很多不同的解决方案，但其中一些对我来说没有意义。 就像这个非常受欢迎的解决方案一样（我将整个内容粘贴到这里，感谢您的耐心等待，因为这需要一些时间）

让我们首先假设 T(n-2) ≈ T(n-1)。暂时不要担心为什么 - 这很快就会变得明显。

将 T(n-1) = T(n-2) 的值代入我们的关系 T(n)，我们得到：

T(n) = T(n-1) + T(n-1) + 1 = 2T(n-1) + 1

通过这样做，我们将 T(n) 简化为更简单的递归。因此，我们现在可以使用反向替换来求解 T(n)。 为此，我们首先将 T(n-1) 代入递归式的右侧。由于 T(n-1) = 2T(n-2) + 1，我们得到：

T(n) = 2[2T(n-2) + 1] + 1 = 4T(n-2) + 3

接下来，我们可以代入 T(n-2) = 2T(n-3) + 1：

T(n) = 2[2[2T(n-3) + 1] + 1] + 1 = 8T(n-3) + 7

T(n-3) = 2T(n-4) + 1：

T(n) = 2[2[2[2T(n-4) + 1]+ 1] + 1] + 1 = 16T(n-4) + 15

我们可以看到这里开始出现一个模式，所以让我们尝试形成 T(n) 的一般解决方案。看来是这样的：

T(n) = 2kT(n–k) + (2k-1)

对于任何正整数k。我们可以通过简单的归纳证明这个等式成立——为简洁起见，我们将跳过这个过程。

最后，我们可以通过代入 T(0) = 1 找到 k，从而求解 T(n)。

对于 T(0)，我们可以看到 n – k = 0。重新排列，我们得到 k = n。现在，将我们的值代入 T(0) 和 k，我们得到：

T(n) = 2nT(0) + (2n-1) = 2n + 2n – 1 = O(2n)

我的问题是为什么它可以用 0 代替 n。在我看来，当 n 达到 1 时程序将终止，因为 T(n-2) 已被 T(n-1) 替换。因此，n 的值为 0 是不可能的。

Answer 1

添加了一个简单的 cout 语句。

考虑调用 f(2)

long fib(2)
{
    std::cout<<n<<"\n";
    if (2 <= 1)
        return 1;
    else{
        
        return fib(1) + fib(0); --- >     here there are two calls  > fib(1)  will return 1 and secod will be fib(0) which prints 0
    }
        
}

f(2) 的输出

2
1
0

此外，请注意：

return fib(n - 1) + fib(n - 2);

上面的陈述并不能保证你的评估顺序，所以对于 f(2) 没有顺序是否 f(1) 将被调用 f(0) 将是第一个。