查找从 0 到 (2^n) - 1 的总设置位答案

【问题标题】：Find total set bits from 0 to (2^n) - 1查找从 0 到 (2^n) - 1 的总设置位
【发布时间】：2013-06-29 04:24:30
【问题描述】：

让我们将 F(n) 定义为

F(n) = total set bits in binary representation of 0 to (2^n) -1.

Eg:

F(1) = number of bits set in 0 + number of bits set in 1 = 1
F(2) = number of bits set in 0 + ...... number of bits set in 3 = 4

是否有 O(log n) 算法来计算 F(n)，其中 n 可以大到 10^6。

【问题讨论】：

Finding the total number of set-bits from 1 to n的可能重复
抱歉，这是重复的
当 n = 10^6 时 2^n 是一个相当大的数字，无法从您指出的内容中计算出来
什么是“0 到 2^n -1 的二进制表示”？那是一系列数字，需要指定一系列数字的二进制表示。

标签： algorithm math bits

【解决方案1】：

如果您要询问从 0 到 2ⁿ–1 的所有整数的二进制表示中设置的位数，这很简单：

这样的数字有 n 位。
有 2ⁿ 个这样的数字。
每个位值都设置为该组数字的一半。
设置的位数是总位数的一半。
设置位数为n × 2ⁿ ÷ 2 = n × 2^n–1.

请记得在作业中引用此网页：v)。

【讨论】：

它不是 2^(n-1)。我想要 (2^n)-1。
@khirod 好的，已解决，尽管将论点增加一并不是火箭科学。

【解决方案2】：

我闻到作业的味道，所以我省略了代码

一个简单的解决方案，使用第 i 个最低有效位的事实，答案将是

(N/2^i)*2^(i-1)+ X
where X = N%(2^i) - (2^(i-1)-1) iff N%(2^i)>=(2^(i-1)-1)

考虑从 1 到 N 的数字的第 i 个最低有效位（基于 1 的索引），然后它们以等于 2^i 的周期重复。在周期中，前半部分的值为 0，下半部分为那些。例如：- 对于从 0 到 7 的数字，（0 没有任何作用，因此没有效果）

000
001
010
011
100
101
110
111
1st least significant bit = 01010101 Period=2
2nd least significant bit = 00110011 Period=4
3rd least significant bit = 00001111 Period=8
and so on.

So for the ith least significant bit ,answer will be (N/Period)*(Half of Period Size) + (N%(2^i - 1) - Half of Period Size + 1)
The second term will only be taken when N%Remainder is greater than or equal to Half of Period Size.
Also , N%(2^i) can be written as N&(2^i - 1)

礼貌：http://www.geeksforgeeks.org

【讨论】：