从 m 到 n 斐波那契数中查找总和的最后一位。 (0 ≤ ???? ≤ ???? ≤ 10^14)

Question

我的代码如下：

m, n = map(int, input().split())

# write function "fibtotal" which takes input x and gives accurate fib(x+2)%10  (as sum till fib(x) == fib(x+2) - 1)
# using above function get fibtotal(m-1) and fibtotal(n)
# subtract fibtotal(m-1) from fibtotal(n) and do mod 10 gives last digit of sum from m to n
# take care of handling large input sizes, 0 ≤ ???? ≤ ???? ≤ 10^14

def fibtotal(x):

  sum = 1 # if both initial conditions fail then loop starts from 2

  x= x % 60 # pisano period of 10 is 60 and to get last digit we need to divide by 10

  if x == 0:
    sum = 1 # fib(2)
    return sum 

  if x == 1:
    sum = 2 # fib(3)
    return sum

  a, b = 0, 1

  for i in range(2, x+3): # to find sum till fib(x+2)

    c = (a+b)%10
    sum += c
    a, b = b%10, c%10

  return sum%10

# no need to subtract 1 from both as they cancel out
print(fibtotal(n)-fibtotal(m-1))

以下案例使用此算法失败：

10 10 我的输出：4，正确输出：5

10 200 我的输出：5，正确输出：2

1234 12345 我的输出：2，正确输出：8

（可能还有更多）

我想知道问题出在哪里以及如何解决？ 有没有更好的方法使用相同的基本原理？

Answer 1

循环数有问题：你在应该有x的地方做了x+1个循环。而且我不明白你为什么不以sum = 0开头。

然后，您可以利用周期在恒定时间内计算总和，而无需任何循环。 aux 列表是使用 fibtotal1 计算的。

def fib(n):
    a, b = 0, 1
    for i in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

def fibtotal1(n):
    return sum(fib(k) % 10 for k in range(n + 1)) % 10

def fibtotal2(n):
    s, a, b = 0, 0, 1
    for i in range(n % 60):
        a, b = b, a + b
        s += a
    return s % 10

aux = [0, 1, 2, 4, 7, 2, 0, 3, 4, 8, 3, 2, 6, 9, 6, 6, 3, 0, 4, 5,
       0, 6, 7, 4, 2, 7, 0, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 6, 8, 5, 4, 0,
       5, 6, 2, 9, 2, 2, 5, 8, 4, 3, 8, 2, 1, 4, 6, 1, 8, 0, 9, 0]

def fibtotal3(n):
    return aux[n % 60]

print(all(fibtotal1(n) == fibtotal2(n) == fibtotal3(n) for n in range(1000)))

另请注意，在您的最后一步中，由于计算 mod 10，差异可能是负数，因此应该是：

def fibtotal(m, n):
    return (fibtotal3(n) - fibtotal3(m - 1)) % 10

---

对于路过的读者：fibtotal2 和 fibtotal3 有效，因为 fib(n) % 10 是周期性的，周期为 60，周期元素的总和是 10 的倍数。请参阅 Math.SE 上的 Fibonacci's final digits cycle every 60 numbers .

Answer 2

正如上面提到的让-克劳德，有两个主要错误

没有。循环运行的次数

理想情况下，循环应该运行 x 次（包括条件），但我将它与 sum(fib(0 to x)) = fib(x+2) -1 混淆并让它运行 x+2 次​​p >

在很多地方都不需要 %10

唯一需要 mod 10 的地方是显示最终结果时的最后一条语句。这个错误的原因是过于关注处理大输入大小，但他们已经在处理x%60。

同样的修正代码如下：

m, n = map(int, input().split())


def fibtotal(x):

  sum = 1 # if both initial conditions fail then loop starts from 2

  x= x % 60 # pisano period of 10 is 60 and to get last digit we need to divide by 10

  if x == 0:
    sum = 1 # fib(2)
    return sum 

  if x == 1:
    sum = 2 # fib(3)
    return sum

  a, b = 0, 1

  for i in range(2, x+1): # to find sum till fib(x+2)

    c = a+b
    sum += c
    a, b = b, c

  return sum

# no need to subtract 1 from both as they cancel out
print((fibtotal(n)-fibtotal(m-1))%10)

注意：如果 m > 1，则值“sum”无关紧要，因为它在最后减去时会抵消