为什么我们可以假设对于 T(n) = 2T(n/2) + theta(1)，n 是 2 的幂？答案

【问题标题】：Why can we assume that for T(n) = 2T(n/2) + theta(1), n is a power of 2?为什么我们可以假设对于 T(n) = 2T(n/2) + theta(1)，n 是 2 的幂？
【发布时间】：2015-06-23 06:10:46
【问题描述】：

最近我对算法很感兴趣，并且一直在观看麻省理工学院发布的视频系列。不过，我遇到了一些关于复发的问题。

https://www.youtube.com/watch?v=-EQTVuAhSFY

附加链接是视频的来源。 07:10，教授提到由于某个定理，可以使用T(n/2) in T(n) = 2T(n/2) + theta(1)，尽管使用T(n/2的下限)或T(the ceiling of n/2)会更准确。

这个定理到底是什么？实际上我有点困惑，因为n/2 可能不会为某些 n 生成基本情况输入。

例如一些不是 2 的幂 的初始输入。

【问题讨论】：

建议将您的标题更改为更具体的内容，例如“为什么我们可以假设对于 T(n) = 2T(n/2) + theta(1)，n 是 2 的幂?”
重要的见解是 2^ceil(log_2(n)) = O(n)。等式的左侧最多为 2n，因此您始终可以将输入填充为 2^k 大小

标签： algorithm recurrence

【解决方案1】：

很好的问题。我相信你在那节课中了解了 Big-O，所以我不会详细说明。（我的解释将使用 O(N) ，为了便于解释，可以假设与 theta(N) 相同，但它们是不同的！）

Big-O（和 theta）的重要部分是意义。例如，O(N) 总是比 O(1) 更重要，即使它是 99999*O(1) 与 O(N)。

所以，你的教授想说的是，当你做 n/2 时，你不必把它放在地板上或天花板上，因为你去掉的额外部分并不显着。您正在处理的是 Big-O 场景中的运行时，它不关心细节。我们假设 N 是HUGE，而你花在尝试降低或限制 N 上的一点点额外时间是无法比拟的。

基本上对于 Big-O，您需要全面概括，这意味着您可以假设 n 是 2 的幂！

【讨论】：