在六边形图中寻找最优节点对的算法答案

【问题标题】：Algorithm for finding optimal node pairs in hexagonal graph在六边形图中寻找最优节点对的算法
【发布时间】：2023-03-29 10:35:01
【问题描述】：

我正在寻找一种算法来在六边形（蜂窝）图上找到成对的相邻节点，以最小化成本函数。

每个节点都连接到三个相邻节点
每个节点“i”应与恰好一个相邻节点“j”配对。
每对节点定义一个代价函数

c = pairCost(i, j)
总成本然后计算为

totalCost = 1/2 sum_{i=1:N} (pairCost(i, pair(i)))

其中 pair(i) 返回与“i”配对的节点的索引。（总和除以二，因为总和计算每个节点两次）。我的问题是，如何找到使总成本最小化的节点对？

链接的图像应该更清楚地显示解决方案的外观（粗红线表示配对）：

一些进一步的说明：

我并不真正关心最外面的节点
我的成本函数类似于 || v(i) - v(j) || （与节点关联的向量之间的距离）
我猜这个问题可能是 NP 难题，但我并不真正需要真正的最优解决方案，一个好的解决方案就足够了。
朴素算法往往会获得“锁定”的节点，即它们的所有邻居都被占用。

注意：我不熟悉该领域的常用术语（是图论吗？）。如果您能对此提供帮助，那么也许这可以让我在文献中寻找解决方案。

【问题讨论】：

标签： algorithm graph complexity-theory mathematical-optimization graph-algorithm

【解决方案1】：

这是通用图中maximum weight matching problem 的一个实例 - 当然，您必须否定权重才能使其成为最小权重匹配问题。 Edmonds 的paths, trees and flowers algorithm (Wikipedia link) 为您解决了这个问题（还有一个公开的Python implementation）。对于 n 个顶点，简单的实现是 O(n⁴)，但对于n 个顶点和 m 个边，使用 Micali 和 Vazirani 的算法（抱歉，找不到 PDF）。

【讨论】：

谢谢，Edmonds 的 Blossom 算法解决了这个问题。不幸的是，它的复杂性超过了节点数量的平方（就我而言）。由于我正在考虑相当大的图表，我需要找到一个更快的算法。有可能利用我的图的统一结构——如果没有，似乎有很多启发式方法可以快速、近似地解决。
尝试找到 Micali 和 Vazirani 算法的实现；由于您的图是六边形的，m 渐近等于 3n，这使其复杂度为 O(n^3/2)。

【解决方案2】：

这似乎与minimum edge cover problem 有关，附加限制是每个节点只能有一条边，并且您试图最小化成本而不是边数。也许您可以通过搜索该短语找到一些答案。

如果做不到这一点，您的问题可以表述为integer linear programming problem，这是 NP 完全的，这意味着即使是中等规模的问题，您也可能获得糟糕的性能。（但这并不一定意味着问题本身是 NP 完全的。）

【讨论】：