lua中的运行时间答案

【问题标题】：Run time in lualua中的运行时间
【发布时间】：2020-12-04 20:52:37
【问题描述】：

所以我有以下问题：

function f(n)
    local z=1
    for a=1,n do
        for b=1,z do
            for c=1,z do
                z=z+1
            end
        end
    end
    return z
end

然后它给了我以下选项：

请给出以下最佳答案。

f(n) = ...

O(2^(2^n))

O(2^(2^(2^(2^(2^(2^n))))))

O(2^n)

O(2^(2^(2^n)))

O(2^(2^(2^(2^(2^n)))))

none of the others here

O(2^(2^(2^(2^n))))

这是为我的 lua 计算课准备的，我只是不知道该怎么做，我知道有一个三重循环，很可能不是z，它们都是n，而是O(n^3)，但是对于这个我不太确定。

我希望有人可以帮助/解释如何解决这样的问题。

谢谢。

【问题讨论】：

z 何时在此声明 for b=1,z do ... 中得到评估？也许它比我们想象的更简单？或者，试一试，发现它的高阶……`f(4)`还没有返回……
正确答案是“这里没有其他人”。时间等于g(g(..g(1)..)，其中g 应用n-1 次和g(z)=z*2^z。它的增长速度比任何固定长度的动力链都快2^2^2...

标签： algorithm lua time-complexity runtime

【解决方案1】：

首先，z=z+1操作符的执行次数等于函数末尾z-1的值。因此，如果我们可以解析地表达f(n)，那么f 函数的复杂度将是O(f(n))。让我们尝试这样做。

第二，让我们简化功能。以下循环

            for c=1,z do
                z=z+1
            end

相当于z=z*2。接下来，如下循环

        for b=1,z do
            z=z*2
        end

相当于z=z*(2^z)。现在我们可以将整个函数等价地重写为以下伪代码：

function f(n)
    local z=1
    for a=1,n do
        z=z*(2^z)
    end
    return z
end

现在我们可以递归地表达f(n)：

f(n+1) = f(n) * 2^f(n) 
       = 2^(f(1)) * 2^(f(2)) * ... * 2^(f(n))
       = 2^(f(1) + f(2) + ... f(n))

最后，让我们近似f(n)：

f(n)   = 2^(f(1) + f(2) + ... f(n-1))
       ≥ 2^f(n-1)
       ≥ 2^(2^f(n-2))
       ≥ 2^^n

a^^b = a^a^a^a^a...^a // a is there b times（即Knuth's up-arrow notation for tetration operator）在哪里。

我猜对于任何常数c>0，以下不等式对于足够大的n：2^^n > c * 2^(2^(2^(2^(2^(2^n))))) 都是正确的，因此该问题的正确答案是“这里没有其他人”。但我可能错了。

您可以在Computer Science StackExchange 上询问O(f(n)) 是什么f(n)=2^(f(1) + f(2) + ... f(n-1))。

【讨论】：